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Lexikon der Mathematik: gewichtete Polynomapproximation

Verallgemeinerung der gleichmäßigen Approximation einer Funktion durch Polynome.

Es sei w eine im betrachteten Intervall [a, b] positive Funktion, die sogenannte Gewichtsfunktion. Ist f eine in [a, b] stetige Funktion, so besteht das Problem der gewichteten Polynomapproximation von f darin, den Ausdruck \begin{eqnarray}{\Vert f-p\Vert }_{w}=\mathop{\max }\limits_{x\in [a,b]}\frac{|f(x)-p(x)|}{w(x)}\end{eqnarray} unter allen Polynomen p eines gegebenen Grades zu minimieren.

Im Spezialfall w(x) = 1 gewinnt man offenbar die gewöhnliche gleichmäßige Approximation durch Polynome zurück.

Das obige Problem ist äquivalent zu der Aufgabe, die stetige Funktion f/w durch Funktionen der Form p/w, p ein Polynom, gleichmäßig zu approximieren.

[1] Schönhage, A.: Approximationstheorie. de Gruyter & Co. Berlin, 1971.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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