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Lexikon der Mathematik: Hurwitz, Approximationssatz von

Aussage über die Approximierbarkeit irrationaler Zahlen durch Brüche.

Zu einer beliebigen irrationalen Zahl ξ ∈ ℝ \ ℚ gibt es unendlich viele rationale Zahlen \begin{eqnarray}\frac{p}{q}\in {\mathbb{Q}}\end{eqnarray}mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\left|\frac{p}{q}-\xi \right|\lt \frac{1}{{q}^{2}\sqrt{5}}.\end{eqnarray}

Die Konstante \begin{eqnarray}\sqrt{5}\end{eqnarray}ist in folgendem Sinn die bestmögliche: Bezeichne \begin{eqnarray}\phi =\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\end{eqnarray}den goldenen Schnitt, so hat zu jedem \begin{eqnarray}A\gt \sqrt{5}\end{eqnarray}die Ungleichung \begin{eqnarray}\left|\frac{p}{q}-\phi \right|\lt \frac{1}{A{q}^{2}}\end{eqnarray}nur endlich viele rationale Lösungen \begin{eqnarray}{\scriptstyle \frac{p}{q}}\end{eqnarray}.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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