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Lexikon der Mathematik: Julia-Menge

Nichtnormalitätsmenge der Folge (fn) der Iterierten einer rationalen Funktion f.

Genauer ist die Julia-Menge \({\mathcal{J}}\) von f die Menge aller z ∈ \(\hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß die Folge (fn) in keiner offenen Umgebung von z eine normale Familie ist. Es ist also \({\mathcal{J}}=\hat{{\mathbb{C}}}\backslash {\mathcal{F}}\) das Komplement der Fatou-Menge \({\mathcal{F}}\) von f in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) und daher stets eine kompakte Menge in \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Es kann vorkommen, daß \({\mathcal{J}}=\hat{{\mathbb{C}}}\).

Manchmal findet man auch die folgende, i.w. zu obiger äquivalente Definition des Begriffs:

Sei f : ℂ → ℂ ein komplexes Polynom mit Grad größer als eins. Dann heißt der Rand der Menge \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}\,|\,\text{Die Folge}{\{|{f}^{k}(z)|\}}_{k\ge 0}{\text {ist beschr}\ddot{\mathrm a}\text {nkt}}|\}\end{eqnarray} Julia-Menge J(f) von f, wobei fk die k-te Iterierte von f bezeichnet.

Ausführliche Informationen sind unter dem Stichwort Iteration rationaler Funktionen zu finden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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