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Lexikon der Mathematik: Kodaira, Einbettungssatz von

wichtiger Satz in der Theorie der komplexen algebraischen Varietäten und der algebraischen Geometrie.

Ist M eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und LM ein positives Geradenbündel, dann gibt es ein k0 so, daß für alle kk0 die Abbildung ιLk : M → ℙn wohldefiniert und eine Einbettung von M ist. Man kann diesen Satz im Hinblick auf Anwendungen auch folgendermaßen formulieren:

Eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit M ist eine algebraische Varietät, d. h., sie ist genau dann einbettbar in einen projektiven Raum, wenn auf ihr eine geschlossene positive (1, 1)-Form ω definiert werden kann, deren Kohomologieklasse [ω] rational ist.

Eine Metrik, deren zugehörige (1, 1)-Form eine rationale Kohomologieklasse besitzt, heißt Hodge-Metrik.

In der Sprache der algebraischen Geometrie besagt Kodairas Einbettungssatz, daß für kompakte Mannigfaltigkeiten die Eigenschaft „positiv“ äquivalent zu „ampel“ ist, d. h. die holomorphen Schnitte einer hinreichend hohen Potenz m von \(\begin{eqnarray} {\mathcal L} \end{eqnarray}\) definieren eine Einbettung X ⊂ ℙ(H0(X, \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal L} }^{\otimes m}\end{eqnarray}\))). Hierbei heißt ein holomorphes Geradenbündel auf einer komplexen Mannigfaltigkeit X positiv, wenn seine erste Chern-Klasse in der de Rham-Kohomologie durch eine Kählerform repräsentiert wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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