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Lexikon der Mathematik: Konvergenzbeschleunigung

Technik zur Beschleunigung der Konvergenz einer gegebenen Folge von Zahlen, Vektoren oder Matrizen unter Beibehaltung des (gesuchten) Grenzwertes, siehe auch Konvergenzbeschleunigung bei Reihen.

Typischerweise werden solche Techniken innerhalb der Numerischen Mathematik angewandt, beispielsweise in Form von Extrapolation (s.d.).

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Beschleunigung der Konvergenz bei klassischen Iterations-verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b.

Klassische Iterationsverfahren beruhen auf Fixpunktiterationen der Form \begin{eqnarray}{x}^{(k+1)}=T{x}^{(k)}+f,\end{eqnarray}

welche nur dann gegen die Lösung x von x = Tx + f konvergieren, wenn der Spektralradius von T kleiner als 1 ist (d. h. wenn alle Eigenwerte von T betragsmäßig kleiner als 1 sind). Je näher der betragsmäßig größte Eigenwert an 1 liegt, desto langsamer konvergiert das Verfahren. Mittels der Techniken Relaxation oder polynomielle Konvergenzbeschleunigung kann man versuchen, die Fixpunktiteration x(k+1) = Tx(k) + f in eine schneller konvergierende zu transformieren, d. h., in eine Fixpunktiteration umzuformen, deren Iterations-matrix einen Spektralradius hat, welcher kleiner als der Spektralradius von T ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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