die zu einem Vektor v des 𝕂-Vektorraums V bezüglich einer gegebenen Basis B = (b₁, …, b_n) von V eindeutig gegebenen Skalare α₁, …, α_n ∈ 𝕂 mit \begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\alpha }_{k}{b}_{k}\end{eqnarray}

(Koordinatendarstellung von v bzgl. der Basis B). Das n-Tupel (α₁, …, α_n) heißt Koordinatenvektor von v bezüglich B; die α_i heißen Koordinaten oder Komponenten des Vektors v bzgl. der Basis B.

Ist V nicht notwendig endlich-dimensional (Dimension eines Vektorraumes), und B = (b_i)_i∈I eine Basis von V, so gibt es zu jedem v ∈ V eine eindeutig gegebene endliche Familie (α_j)_j∈J von Skalaren aus 𝔼 mit J ⊂ I und α_j ungleich Null für alle j ∈ J so, daß gilt: \begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{j\in J}{\alpha }_{j}{b}_{j}.\end{eqnarray}

Die Familie (α_j)_j∈J heißt dann Koordinatenvektor von v bezüglich B.

Die Bezeichnung „Koordinate“ rührt vom Spezialfall der Vektoren im euklidischen Raum her, wo die Koordinaten tatsächlich die Lage des jeweiligen Vektors im Raum anschaulich beschreiben, siehe auch kartesische Koordinaten.