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Lexikon der Mathematik: Koordinaten bzgl. einer Basis

die zu einem Vektor v des 𝕂-Vektorraums V bezüglich einer gegebenen Basis B = (b1, …, bn) von V eindeutig gegebenen Skalare α1, …, αn ∈ 𝕂 mit \begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\alpha }_{k}{b}_{k}\end{eqnarray}

(Koordinatendarstellung von v bzgl. der Basis B). Das n-Tupel (α1, …, αn) heißt Koordinatenvektor von v bezüglich B; die αi heißen Koordinaten oder Komponenten des Vektors v bzgl. der Basis B.

Ist V nicht notwendig endlich-dimensional (Dimension eines Vektorraumes), und B = (bi)iI eine Basis von V, so gibt es zu jedem vV eine eindeutig gegebene endliche Familie (αj)jJ von Skalaren aus 𝔼 mit JI und αj ungleich Null für alle jJ so, daß gilt: \begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{j\in J}{\alpha }_{j}{b}_{j}.\end{eqnarray}

Die Familie (αj)jJ heißt dann Koordinatenvektor von v bezüglich B.

Die Bezeichnung „Koordinate“ rührt vom Spezialfall der Vektoren im euklidischen Raum her, wo die Koordinaten tatsächlich die Lage des jeweiligen Vektors im Raum anschaulich beschreiben, siehe auch kartesische Koordinaten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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