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Lexikon der Mathematik: Lagrange-Identität

auf Joseph Louis Lagrange zurückgehende Aussagen über Produkte zweier Kreuzprodukte (Vektorprodukte) \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}(a\times b)\cdot (c\times d) & = & (a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\\ (a\times b)\times (c\times d) & = & (a,c,d)b-(b,c,d)a\end{array}\end{eqnarray}

für Vektoren a, b, c, d im ℝ3. Dabei seien mit × das Kreuzprodukt, mit · das übliche Skalarproddukt bezeichnet, und \begin{eqnarray}(a,b,c):=(a\times b)\cdot c\end{eqnarray}

sei das Spatprodukt. (Bilden a, b, c ein Rechts-system, dann liefert das Spatprodukt gerade das Volumen des von a, b, c aufgespannten Parallelepipeds bzw. Spats).

Ein Spezialfall der ersten Beziehung ist \begin{eqnarray}\|a\times b{\|}_{2}^{2}=\|a{\|}_{2}^{2}\|b{\|}_{2}^{2}-{(a\cdot b)}^{2}.\end{eqnarray}

Allgemeiner gilt für 2 ≤ n ∈ ℕ und Vektoren im ℝn: \begin{eqnarray}({a}_{1}\times \cdots \times {a}_{n-1})\cdot ({b}_{1}\times \cdots \times {b}_{n-1})\\ =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1}\cdot {b}_{1} & \cdots & {a}_{1}\cdot {b}_{n-1}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{n-1}\cdot {b}_{1} & \cdots & {a}_{n-1}\cdot {b}_{n-1}\end{array}\right|.\end{eqnarray}

Auch die Beziehung \begin{eqnarray}a\times (b\times c)+b\times (c\times a)+c\times (a\times b)=0\end{eqnarray}

für Vektoren a, b, c im ℝ3 wird gelegentlich als Lagrange-Identität bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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