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Lexikon der Mathematik: Landau, Satz von

lautet:

Es sei f eine in 𝔼 ={z ∈ ℂ : |z| < 1} holomorphe Funktion, f(0) = a0, f′(0) = a1und f lasse in 𝔼 die Werte 0 und 1 aus, d. h. f(z) ≠ 0 und f(z) ≠ 1 für alle z ∈ ℝ. Dann gibt es eine nur von a0abhängige Konstante M(a0) mit \begin{eqnarray}|{a}_{1}|\le M({a}_{0}).\end{eqnarray}

Eine genauere Abschätzung von Hempel lautet \begin{eqnarray}|{a}_{1}|\le 2|{a}_{0}|(|\mathrm{log}|{a}_{0}||+A)\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}A=\frac{{\left(\Gamma \left({\scriptstyle \frac{1}{4}}\right)\right)}^{4}}{4{\pi }^{2}}\approx 4,377,\end{eqnarray}

wobei Γ die Eulersche Γ-Funktion ist.

Dieses Ergebnis ist bestmöglich, d. h. es existiert eine Funktion f für die das Gleichheitszeichen gilt.

Für einen weiteren Satz von Landau vergleiche man das Stichwort Turnier.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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