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Lexikon der Mathematik: Lebesgue-Nullmenge

eine Menge M ⊂ ℝn (n ∈ ℕ), für die zu jedem ϵ > 0 offene Quader Qν (ν ∈ ℕ) existieren mit

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}M\subset \displaystyle \underset{v=1}{\overset{\infty }{\cup }}Qv & \text{und} & \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\mu (Qv)\lt \varepsilon \end{array}.\end{eqnarray}

wobei µ den Inhalt eines Quaders bezeichnet. Ein offener Quader ist dabei eine Menge der Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}Q & = & \{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}\begin{array}{cc}|{a}_{v}\lt {x}_{v}\lt {b}_{v} & (v=1,\ldots, n)\end{array}\}\\ & = & \displaystyle \prod _{v=1}^{n}({a}_{v},{b}_{v})\end{array}\end{eqnarray}

mit geeigneten reellen Zahlen aν, bν. Der Inhalt

von Q ist – in Verallgemeinerung der Intervall-Länge, des Inhaltes von Rechtecken und des Volumens dreidimensionaler Quader – definiert durch

\begin{eqnarray}\mu (Q):=\displaystyle \prod _{v=1}^{n}({b}_{v}-{a}_{v})=({b}_{1}-{a}_{1})\cdots ({b}_{n}-{a}_{n}).\end{eqnarray}

Statt Lebesgue-Nullmenge sagt man gelegentlich auch nur Nullmenge oder „die Menge hat Lebesgue-Maß Null“.

Für den Umgang mit solchen Nullmengen sind die folgenden elementaren Eigenschaften wichtig: Teilmengen von Nullmengen sind Nullmengen. Allgemeiner: Jede Menge, die sich durch höchstens abzählbar viele Nullmengen überdecken läßt, ist selbst Nullmenge. Mit einpunktigen Mengen sind so auch alle höchstens abzählbaren Mengen Nullmengen. Ein Standardbeispiel für eine überabzählbare Nullmenge ist – im Falle n = 1 – die Cantor-Menge.

Das Lebesgue-Maß läßt sich auch auf ganz anderen Grundmengen als nur auf dem ℝn betrachten. Dies wird in der allgemeinen Maß- und Integrationstheorie nach Lebesgue behandelt. Dort ist eine Nullmenge gerade eine (Lebesgue-)meßbare Menge mit (Lebesgue-)Maß Null. Siehe hierzu auch Lebesgue-Borel-Maß.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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