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Lexikon der Mathematik: Limes inferior einer reellen Folge

die Größe

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\inf }\limits_{n\to \infty }\,{a}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\inf \{{a}_{k}|k\le n\},\end{eqnarray}

wobei (an) die benannte reelle Folge bezeichnet.

Man beachte, daß die Folge (inf{ak | kn}) isoton ist, also entweder konstant gleich −∞ oder konvergent oder bestimmt divergent gegen ∞.

lim infn→∞an, oder kurz lim inf an, ist gerade das Infimum der Menge der Häufungswerte der Folge (an). Insbesondere gibt es eine Teilfolge von (an), die gegen lim inf an konvergiert bzw. bestimmt divergiert.

Der Limes inferior einer beschränkten Folge ist reell und selbst Häufungswert der Folge, also das Minimum der Menge der Häufungswerte.

Nach unten unbeschränkte Folgen haben −∞ als Limes inferior. Folgen, die nur ∞ als Häufungswert haben (z. B. (an) = (n)), haben ∞ als Limes inferior.

Die Zahl a ∈ ℝ ist genau dann der Limes inferior von (an), wenn für jedes ϵ > 0 für unendlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung an < a + ϵ gilt und für höchstens endlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung an < aϵ. Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf {a}_{n}\le \mathrm{lim}\sup {a}_{n}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf \,(-{a}_{n})=-\mathrm{lim}\sup {a}_{n},\end{eqnarray}

wobei lim sup an den Limes superior von (an) (Limes superior einer reellen Folge) bezeichnet, und mit der Vereinbarung α(±∞) = ±∞ gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf \alpha\,{a}_{n}=\alpha\, \mathrm{lim}\inf {a}_{n}\end{eqnarray}

für α ∈ (0, ∞).

Man beachte auch die Ungleichungen für Limes Inferior und Superior reeller Folgen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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