Aussage aus der Logik.

Ist Σ eine Menge von Formeln eines logischen Kalküls 𝒦, dann heißt Σ syntaktisch vollständig, wenn für jede Aussage ϕ von 𝒦 gilt: Entweder Σ ⊢ ϕ oder Σ ⊢ ¬ϕ, wobei ⊢ die formale Beweisrelation in 𝒦 und ¬ϕ die Negation von ϕ bezeichne. Diese Formulierung impliziert, daß vollständige Mengen stets konsistent sind (konsistente Formelmenge).

Ist Σ^⊢ := {ϕ : Σ ⊢ ϕ}, dann ist Σ^⊢ maximal und konsistent, d. h., für jede Aussage ϕ gilt: Entweder ϕ ∈ Σ^⊢ oder ¬ϕ ∈ Σ^⊢. Der Satz von Lindenbaum kann nun wie folgt formuliert werden:

Jede konsistente Menge läßt sich zu einer (maximalen) vollständigen Menge erweitern.