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Lexikon der Mathematik: logischer Kalkül

Quadrupel \({\mathcal{K}}\text{=(}E,\,A,\,S,\,F\text{)}\) mit folgenden Bestimmungsstücken:

  1. E ist eine nichtleere Menge, deren Elemente als Grundzeichen des Kalküls dienen (E heißt auch Alphabet von \({\mathcal{K}}\)).
  2. A ist eine geeignete Teilmenge der freien Halbgruppe E* über E (E* ist die Menge aller Wörter, also der endlichen Zeichenreihen von Grundzeichen in \({\mathcal{K}}\)). A heißt Menge der Ausdrücke von \({\mathcal{K}}\); A wird in der Regel induktiv definiert (siehe auch Aussagenkalkül, Prädikatenkalkül).
  3. S ist eine spezielle Menge von Ausdrücken, die Satzmenge von \({\mathcal{K}}\).
  4. F ist eine Abbildung (sie wird als Ableitungsrelation von \({\mathcal{K}}\) bezeichnet), die jeder Teilmenge XA eine Teilmenge F(X) ⊆ A mit folgenden Eigenschaften zuordnet:
    1. XF(X),
    2. wenn X1X2, so F(X) ⊆ F(X2),
    3. F(F(X)) ⊆ F(X),
    4. zu jedem aF(X) gibt es eine endliche Teilmenge X0X, so daß aF(X0),
    5. F(S) ⊆ S(⇒ F(S) = S).
    (a) − (c) sind die Hülleneigenschaften der Ableitungsrelation F, (d) symbolisiert den Endlichkeitssatz bzgl. F, und (e) besagt, daß aus (gültigen) Sätzen nur (gültige) Sätze abgeleitet werden können.

Die wichtigsten Beispiele von logischen Kalkülen sind der Aussagen- und der Prädikatenkalkül (siehe auch elementare Sprache). Häufig wird unterschieden zwischen Kalkülen mit syntaktisch definierter Satzmenge (und der entsprechenden Ableitungsrelation) und semantisch definierter Satzmenge (und einer entsprechenden Folgerungsrelation).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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