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Lexikon der Mathematik: lineare Mannigfaltigkeit

Teilmenge A des 𝕂n, zu der Polynome f1, …, fr aus dem Polynomring 𝕂[x1, …, xn] vom Grad 1 existieren mit

\begin{eqnarray}A=\{x\in {{\mathbb{K}}}^{n}|{f}_{1}(x)=\cdots ={f}_{r}(x)=0\}.\end{eqnarray}

Die linearen Mannigfaltigkeiten sind Spezialfälle der algebraischen Mannigfaltigkeiten, d. h. Teilmengen des 𝕂n der Form (1), wo die f1 bis fr nicht notwendigerweise vom Grad 1 sind.

In einem beliebigen Vektorraum V bezeichnet man die Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation

\begin{eqnarray}{}^{\sim }U:=\{({v}_{1},{v}_{2})\in V\times V|\exists u\in U\therefore {v}_{1}={v}_{2}+u\}\end{eqnarray}

(U Unterraum von V) als lineare Mannigfaltigkeiten. Die linearen Mannigfaltigkeiten sind also die Mengen L der Form

\begin{eqnarray}L=\{{v}_{0}+u|u\in U\}=:{v}_{O}+U.\end{eqnarray}

Die Dimension einer linearen Mannigfaltigkeit ist dann eindeutig definiert als Dimension des zugehörigen Unterraumes U. Zwei lineare Mannigfaltigkeiten L1 = {v1 + u1|u1U1} und L2 = {v2 + u2|u2U2} sind genau dann gleich, wenn U1 = U2(=: U) gilt und v1v2 in U liegt. Der Durchschnitt zweier linearer Mannigfaltigkeiten ist entweder leer oder wieder eine lineare Mannigfaltigkeit.

Im Falle codim U = 1 (Kodimension) spricht man von Hyperebenen (durch vo). Jede Hyperebene H in V durch vo ist von der Form

\begin{eqnarray}H={v}_{o}+N(f)=\{v\in V|f(v)=f({v}_{0})\}\end{eqnarray}

mit einer Linearform f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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