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Lexikon der Mathematik: Linearform

lineares Funktional, lineare Abbildung f : V → 𝕂 eines Vektorraumes V über 𝕂 in seinen zugrundeliegenden Körper, aufgefaßt als Vektorraum über sich selbst.

Hat V die Dimension n und ist f ≠ 0, so hat der Kern von f die Dimension n−1. Die Menge aller Linearformen auf einem Vektorraum V über 𝕂 bildet bzgl. der elementweise definierten Verknüpfungen selbst einen Vektorraum über 𝕂, den meist mit V bezeichneten (algebraischen) Dualraum von V (auch dualer Raum oder dualer Vektorraum zu V). Ist V endlich-dimensional, so auch V, und beide sind isomorph. Mittels der Vorschrift v(f) = f(v) für alle vV, fV, läßt sich jeder Vektor aus V als Linearform auf V auffassen, d. h. als Element aus dem sogenannten Bidualraum V∗∗ := (V) von V. Ist V endlich-dimensional, so ist durch diese Vorschrift ein Isomorphismus von V auf V∗∗ gegeben. Die Menge aller stetigen Linearformen auf einem normierten reellen oder komplexen Vektorraum (V, ∥ · ∥) wird meist mit V bezeichnet und heißt der (topologische) Dualraum von V (auch topologisches oder stetiges Dual zu V). Der topologische Dualraum V ist stets ein Unterraum des algebraischen Dualraums V; durch

\begin{eqnarray}\Vert f\Vert :=\mathop{\sup }\limits_{v\ne 0}\frac{|f(v)|}{\Vert v\Vert }\forall f\in {V}^{\prime}\end{eqnarray}

wird V zu einem vollständigen normierten Raum, d. h. zu einem Banachraum.

Beispiele: (1) Die i-te Projektionsabbildung

\begin{eqnarray}{\pi }_{i}:{{\mathbb{K}}}^{n}\to {\mathbb{K}};{({a}_{1},\ldots, {a}_{n})}^{t}\mapsto {a}_{i},\end{eqnarray}

wobei i ∈ {(1, …, n}, ist eine Linearform.

(2) Die Integralabbildung auf dem Vektorraum C[a, b] der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [a, b], also

\begin{eqnarray}f\mapsto \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt),\end{eqnarray}

ist eine Linearform.

(3) Die Spurabbildung auf dem Vektorraum der (n × n)-Matrizen über 𝕂, die einer Matrix ihre Spur zuordnet, ist eine Linearform.

(4) Jede Linearform ϕ auf dem 𝕂n ist von der Form

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ \vdots \\ {x}_{n}\end{array}\right)\mapsto \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}{x}_{i}=\left({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ \vdots \\ {x}_{n}\end{array}\right)\end{eqnarray}

für gewisse αi ∈ 𝕂.

(5) Für 1 < p < ∞ bezeichne lp den Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen (x1, x2, …), für welche die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }|{x}_{k}|\) konvergiert. Durch

\begin{eqnarray}\Vert x\Vert :={\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{|{x}_{k}|}^{p}\right)}^{\frac{1}{p}}\end{eqnarray}

ist auf lp eine Norm gegeben. Identifiziert man normisomorphe Räume, so gilt:

\begin{eqnarray}{({l}^{p})}^{\prime}={l}^{q},\end{eqnarray}

wobei q die zu p konjugierte Zahl bezeichnet, d. h. jene Zahl für die gilt: \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).

(6) Ist (bi)iI eine Basis des Vektorraumes V, so gibt es zu jedem ioI genau eine Linearform \({b}_{{i}_{0}}^{* }\in V* \) mit \({b}_{{i}_{0}}^{* }({b}_{i})={\delta }_{i{i}_{0}}\) (Kronecker-Symbol). Jedes vV läßt sich dann schreiben als

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i\in I}{b}_{i}^{* }(v){b}_{i}.\end{eqnarray}

Die Bezeichnung lineares Funktional anstelle von Linearform findet meist in der Funktionalanalysis Verwendung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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