Lexikon der Mathematik: Linearform
lineares Funktional, lineare Abbildung f : V → 𝕂 eines Vektorraumes V über 𝕂 in seinen zugrundeliegenden Körper, aufgefaßt als Vektorraum über sich selbst.
Hat V die Dimension n und ist f ≠ 0, so hat der Kern von f die Dimension n−1. Die Menge aller Linearformen auf einem Vektorraum V über 𝕂 bildet bzgl. der elementweise definierten Verknüpfungen selbst einen Vektorraum über 𝕂, den meist mit V∗ bezeichneten (algebraischen) Dualraum von V (auch dualer Raum oder dualer Vektorraum zu V). Ist V endlich-dimensional, so auch V∗, und beide sind isomorph. Mittels der Vorschrift v(f) = f(v) für alle v ∈ V, f ∈ V∗, läßt sich jeder Vektor aus V als Linearform auf V∗ auffassen, d. h. als Element aus dem sogenannten Bidualraum V∗∗ := (V∗)∗ von V. Ist V endlich-dimensional, so ist durch diese Vorschrift ein Isomorphismus von V auf V∗∗ gegeben. Die Menge aller stetigen Linearformen auf einem normierten reellen oder komplexen Vektorraum (V, ∥ · ∥) wird meist mit V′ bezeichnet und heißt der (topologische) Dualraum von V (auch topologisches oder stetiges Dual zu V). Der topologische Dualraum V′ ist stets ein Unterraum des algebraischen Dualraums V∗; durch
wird V′ zu einem vollständigen normierten Raum, d. h. zu einem Banachraum.
Beispiele: (1) Die i-te Projektionsabbildung
wobei i ∈ {(1, …, n}, ist eine Linearform.
(2) Die Integralabbildung auf dem Vektorraum C[a, b] der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [a, b], also
ist eine Linearform.
(3) Die Spurabbildung auf dem Vektorraum der (n × n)-Matrizen über 𝕂, die einer Matrix ihre Spur zuordnet, ist eine Linearform.
(4) Jede Linearform ϕ auf dem 𝕂n ist von der Form
für gewisse αi ∈ 𝕂.
(5) Für 1 < p < ∞ bezeichne lp den Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen (x1, x2, …), für welche die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }|{x}_{k}|\) konvergiert. Durch
ist auf lp eine Norm gegeben. Identifiziert man normisomorphe Räume, so gilt:
wobei q die zu p konjugierte Zahl bezeichnet, d. h. jene Zahl für die gilt: \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).
(6) Ist (bi)i∈I eine Basis des Vektorraumes V, so gibt es zu jedem io ∈ I genau eine Linearform \({b}_{{i}_{0}}^{* }\in V* \) mit \({b}_{{i}_{0}}^{* }({b}_{i})={\delta }_{i{i}_{0}}\) (Kronecker-Symbol). Jedes v ∈ V läßt sich dann schreiben als
Die Bezeichnung lineares Funktional anstelle von Linearform findet meist in der Funktionalanalysis Verwendung.
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