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Lexikon der Mathematik: Lorentz-Transformation

ganz allgemein jede Transformation der Minkowskischen Raum-Zeit, die die Eigenschaft hat, daß die Standardgestalt der Metrik der speziellen Relativitätstheorie gij = diag (1, −1, −1, −1) durch sie ungeändert bleibt. Da Translationen und Spiegelungen diese Form trivialerweise invariant lassen, schließt man diese meist aus.

Man spricht von speziellen Lorentz-Transforma- tionen, wenn der Ursprung des Koordinatensystems unverändert bleibt und die Transformation zur Zusammenhangskomponente der identischen Transformation gehört.

Man kann dann räumliche Drehungen so ansetzen, daß die verbleibende Lorentz-Transformation nur noch eine spezielle Lorentz-Transformation in der (t, x)-Ebene ist. In Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit c = 1 beträgt, läßt sich diese verbleibende Menge von Lorentz-Transformationen durch einen einzigen reellen Parameter v mit −1 < v < 1 beschreiben, der als Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme t, x und t′, x′ interpretiert wird. Es gilt dann \({t}^{{\prime}^{2}}-{x}^{{\prime}^{2}}={t}^{2}-{x}^{2}\), sowie \begin{eqnarray}{t}^{\prime}=\frac{t-vx}{\sqrt{1-{v}^{2}}}\,\,\,\text{und}\,\,\,\,{x}^{\prime}=\frac{x-vt}{\sqrt{1-{v}^{2}}}.\end{eqnarray}

Die Linearität dieser Transformation in t und x ist eine Folge des Relativitätsprinzips und nicht, wie oft vermutet, eine Zusatzannahme.

Der Ausdruck \(1/\sqrt{1-{v}^{2}}\) in diesen Formeln ist der für Längenkontraktion und Zeitdilatation zuständige Lorentzfaktor (Lorentz-Kontraktion).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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