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Lexikon der Mathematik: Möbius-Band

spezielle geschlossene Fläche im Raum.

Man kann ein Möbius-Band herstellen, indem man Anfangs- und Endstelle eines geradlinigen schmalen Streifens Papier so verklebt, daß die Vorderseite der Anfangsstelle mit der Rückseite der Endstelle verbunden wird. Man erhält dadurch eine einseitige Fläche, das heißt, eine Fläche, bei der man von einer Seite auf die andere ohne Überschreitung des Randes gelangen kann.

Ein anderes, exakteres, Modell ergibt sich durch eine parametrische Beschreibung als Regelfläche, deren Basiskurve der Einheitskreis S1 der xy-Ebene ist: Man betrachte die Gerade G ={(x, y, z); x = 1,0} der xz-Ebene ϵ und lasse ϵ um die z-Achse rotieren, wobei G mitgeführt wird und gleichzeitig mit halber Winkelgeschwindigkeit rotiert. Dann beschreibt G eine Fläche von der topologischen Gestalt eines Möbius-Bandes, deren Parametergleichung \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\cos (u)\\ \sin (u)\\ 0\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{l}\cos (u/2)\cos (u)\\ \cos (u/2)\sin (u)\\ \sin (u/2)\end{array}\right)\end{eqnarray}

lautet. Die Gaußsche Krümmung g dieser Fläche ist die Funktion \begin{eqnarray}g=\frac{-4}{{(4+3{v}^{2}+8v\cos (u/2)+2{v}^{2}\cos (u))}^{2}}.\end{eqnarray}

Da das Papiermodell des Möbius-Bandes auf die Ebene abwickelbar ist und somit verschwindende Gaußsche Krümmung hat, kann sie nach dem theorema egregium zu diesem nicht isometrisch sein.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Möbius-Band
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Das Trinoid ist die mathematische Beschreibung einer Seifenlamelle, die sich an drei Kreisen ausbildet.

Mathematisch betrachtet ist das Möbius-Band also ein Spezialfall einer nichtorientierbaren Fläche, das heißt, einer Fläche, auf der es eine Jordan-Kurve gibt, längs der man das topologische Bild eines Kreises so verschieben kann, daß es mit umgekehrter Orientierung an seinen Ausgangspunkt zurückkehrt. Eine beliebige Fläche ist genau dann nichtorientierbar, wenn sie einen zum Möbius-Band homöomorphen Unterraum enthält.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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