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Lexikon der Mathematik: natürliche Gleichungen

Gleichungssystem der Form κα (s) = κ(s), τα (s) = τ(s), worin κ(s) > 0 und τ(s) vorgegebene differenzierbare Funktionen der reellen Variablen s sind, und κα und τα Krümmung und Windung einer zu bestimmenden Kurve α.

Nach dem Fundamentalsatz der Kurventheorie existiert immer eine derartige Kurve. Ähnliches gilt für die natürlichen Gleichungen von ebenen Kurven oder von Kurven im n-dimensionalen Raum ℝn, wo man die Kurve über ihre n − 1 Krümmungen definiert.

Die natürlichen Gleichungen im ℝ3 lassen sich auf eine komplexe Riccati-Gleichung zurückführen. Dazu seien l(s), m(s) und n(s) die ersten Komponenten der Vektoren \({\mathfrak{t}}(s)\), \({\mathfrak{n}}(s)\) bzw. \({\mathfrak{b}}(s)\) des begleitenden Dreibeins. Diese drei Funktionen erfüllen das Differentialgleichungssystem

\begin{eqnarray}\begin{array}{lllll}{l}^{\text{'}}(s) & = & & -\kappa (s)\quadm(s) & \\ {m}^{\text{'}}(s) & = & \kappa (s)\quadl(s) & & -\tau (s)\quadn(s)\\ {n}^{\text{'}}(s) & = & & \tau (s)\quadm(s) & \end{array}\end{eqnarray}

Da l2 (s) + m2(s) + n2(s) = 1 ist, kann man diese Funktionen durch Polarkoordinaten l = sin ϑ cos φ, m = sin ϑ sin φ und n = cos ϑ ausdrücken. Darin sind ϑ(s) und φ(s) gewisse Funtionen der Bogenlänge s, für die man aus dem obigen Differentialgleichungssystem die Gleichungen ϑ′ = −τ sin φ und φ′ = κ − τ cot ϑ cos φ gewinnt. Führt man die komplexe Größe σ(s) = cot(v (s)/2) eiφ(s) ein, so folgt aus den zuletzt gefundenen Differentialgleichungen die Riccati-Gleichung

\begin{eqnarray}{\sigma }^{\text{'}}=-\frac{i}{2}\tau {\sigma }^{2}+i\quad\kappa \quad\sigma +\frac{i}{2}\tau ,\end{eqnarray}

aus der man, wenn κ und τ vorgegeben sind, mit einfachen numerischen Methoden σ berechnen kann. Die Winkel φ und ϑ erhält man dann aus dem Argument und dem Betrag der komplexen Funktion σ:

\begin{eqnarray}\varphi =\text{Arg}(\sigma ),\quad\quad\quad\quad\vartheta =2\quad\text{arccot}\quad(|\sigma |).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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