eine Splinefunktion, welche durch Polynome von niedrigem Grad auf die ganze reelle Achse fortgesetzt werden kann.

Es seien r ∈ ℕ, k ≥ r − 1, ein Intervall L[a, b] und Knoten a = x₀ < x₁ < … < x_k < x_k+1 = b gegeben. Ein Spline s ∈ C^2r[a, b], welcher in jedem Teilintervall L[x_i, x_i+1], i = o,… ,k, ein Polynom vom Grad 2r + 1 ist, heißt natürlicher Spline, falls gilt:

\begin{eqnarray}{s}^{(j)}(a)={s}^{(j)}(b)=0,\,j=r+1,\ldots ,2r.\end{eqnarray}

Somit ist ein solcher Spline s genau dann ein natürlicher Spline, wenn eine Fortsetzung \(\tilde{s}\in {C}^{2r}({\mathbb{R}})\) existiert mit den Eigenschaften, daß \(\tilde{s}{|}_{(-\infty ,a]}\) und \(\tilde{s}{|}_{[b,\infty )}\) Polynome vom Grad r sind.

Das natürliche Spline-Interpolationsproblem

\begin{eqnarray}s({x}_{i})={c}_{i},\,i=0,\ldots ,k+1,\end{eqnarray}

besitzt für beliebig vorgegebene Daten c_i genau einen natürlichen Spline s als Lösung. Diese Lösung s besitzt die folgende Minimierungseigenschaft hinsichtlich der L₂-Norm ∥·∥2.

Es sei f ∈ C^r+1[a, b], f ≠ s, eine Funktion mit der Eigenschaft f (x_i) = c_i, i = 0,… , k + 1. Dann gilt:

\begin{eqnarray}{\Vert {s}^{(r+1)}\Vert }_{2}\lt {\Vert {f}^{(r+1)}\Vert }_{2}\end{eqnarray}