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Lexikon der Mathematik: Normalform Hamiltonscher Systeme

nach G. Birkhoffeineeinfache Darstellung einer Hamilton-Funktion im ℝ2n, deren Ableitung am Ursprung verschwindet, und deren quadratisches Glied der Taylor-Reihe die Form \begin{eqnarray}{H}_{(2)}(q,p):=\frac{{\omega }_{1}}{2}({p}_{1}+{q}_{1})+\cdots +\frac{{\omega }_{n}}{2}({p}_{n}+{q}_{n})\end{eqnarray}

annimmt mit reellen Kreisfrequenzen ω1,…,ωn. Falls die Kreisfrequenzen keine Resonanzbeziehung bis zur Ordnung s ∈ ℕ haben, so läßt sich eine (i. allg. nur als formale Potenzreihe interpretierbare) kanonische Transformation (Q(q, p), P(q, p)) des ℝ2n und ein homogenes Polynom f vom Grade [s/2] in den Variablen \begin{eqnarray}{\tau }_{1}:={P}_{1}+{Q}_{1},\ldots,{\tau }_{n}:={P}_{n}+{Q}_{n}\end{eqnarray}

finden, so daß H nach der Transformation die einfache sogenannte Normalform \begin{eqnarray}\tilde{H}(Q,P)=f({\tau }_{1},\ldots,{\tau }_{n})+O{(|P|+|Q|)}^{s+1}\end{eqnarray}

annimmt. Für rational unabhängige Kreisfrequenzen hängt somit die Normalform nur von den τ1, …, τn ab.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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