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Lexikon der Mathematik: orthogonale lineare Abbildung

eine lineare Abbildung f : VW zwischen zwei euklidischen Vektorräumen (V, ⟨·, ·⟩1) und (W, ⟨·, ·⟩2), die das Skalarprodukt invariant läßt, d. h. für die für alle v1, v2V gilt: \begin{eqnarray}{\langle {v}_{1},{v}_{2}\rangle }_{1}={\langle f({v}_{1}),f({v}_{2})\rangle }_{2}.\end{eqnarray}

Eine lineare Abbildung f : VW zwischen zwei euklidischen Räumen V und W ist genau dann orthogonal, wenn das Bild eines Vektors der Länge Eins wieder Länge Eins hat, und ebenso genau dann, wenn sie ein beliebiges Orthonormalsystem in V auf ein Orthonormalsystem in W abbildet.

Die Menge aller orthogonalen Endomorphismen f : VV auf einem euklidischen Vektorraum V bildet bezüglich Komposition eine Gruppe, die meist mit O(V) bezeichnete orthogonale Gruppe von V; ist V n-dimensional, so ist O(V) isomorph zur Gruppe O(n) der orthogonalen (n × n)-Matrizen (orthogonale Gruppe).

Der Begriff orthogonale lineare Abbildung ist weitestgehend synonym mit dem der längentreuen linearen Abbildung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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