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Lexikon der Mathematik: Quantenzahlen

in der „älteren“ Quantenmechanik ganz- oder halbganze Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums h, die in der Energie eines Systems auftretenden Größen mit der Dimension Wirkung zugeordnet werden (Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung); in der Elementarteilchenphysik sind es Sätze von Zahlen ( „innere“ Quantenzahlen), die die Darstellungen von Symmetriegruppen charakterisieren.

Für den harmonischen Oszillator kann die Quantenbedingung in der Form \begin{eqnarray}E/v=(n+\frac{1}{2})h\end{eqnarray}

mit n als Quantenzahl geschrieben werden.

Bei der Quantisierung der elliptischen relativistischen Bewegung in einem Zentralpotential (Feinstruktur der Energieniveaus) lauten die Quantenbedingungen für die radiale Komponente pr des Impulses und die Drehimpulskomponente pφ \begin{eqnarray}\displaystyle \oint {p}_{r}={n}_{r}h,\quad\text{2}{\pi }_{\phi }=kh.\end{eqnarray}

Die zunächst nicht negativen ganzen Zahlen nr und k heißen radiale und azimutale Quantenzahlen. n := nr + k wird Hauptquantenzahl und k oder l := k − 1 auch Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl genannt. Aus der Forderung, daß die Werte für die Energieniveaus reell sind, ergibt sich k ≥ 1, und für gegebenes n gilt nk ≥ 1.

Nach der „neueren“ Quantenmechanik hat das Quadrat des Bahndrehimpulsoperators die Eigenwerte l(l + 1) mit l ∈ ℕ0. Bezüglich einer ausgewählten Richtung (gegeben etwa durch ein Magnetfeld) kann die entsprechende Komponente \(\hat{m}\) des Bahndrehimpulsoperators \(\hat{l}\) die 2l + 1 Eigenwerte m in −l,−l + 1,…,l − 1, l haben. m wird magnetische oder auch Projektionsquantenzahl genannt.

Die nur im Rahmen der Quantentheorie behandelbaren Teilchen (Bosonen) haben einen quantisierten Eigendrehimpuls (Spin) mit der Einheit h/2π. Sein ganzes oder halbganzes Vielfaches wird Spinquantenzahl genannt. Auch für den Spin gibt es wie beim Bahndrehimpuls eine quantisierte Projektion auf eine vorgegebene Richtung.

Die Quantenzahlen der Quantenmechanik spielen eine herausragende Rolle beim Aufbau des Periodensystems der Elemente.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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