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Lexikon der Mathematik: quasisymmetrische Funktion

eine streng monoton wachsende Funktion h: ℝ → ℝ mit h(x) → −∞ (x → −∞) und h(x) → ∞ (x → ∞) derart, daß eine Konstante k ≥ 1 existiert mit

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{1}{k}\le \displaystyle \frac{k(x+t)-h(x)}{h(x)-h(x-t)}\le k\end{eqnarray}

für alle x ∈ ℝ und alle t > 0. Ist k die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft, so nennt man f eine k-quasisymmetrische Funktion und k die Quasisymmetrie-Konstante. Eine quasisymmetrische Funktion h nennt man normalisiert, falls h(0) = 0 und h(1) = 1.

Für a > 0 und b ∈ ℝ ist f (x) = ax + b eine 1-quasisymmetrische Funktion, und man überlegt sich leicht, daß jede 1-quasisymmetrische Funktion von dieser Form ist.

Es sei f eine quasikonforme Abbildung der oberen Halbebene H = {z ∈ ℂ : Im z > 0} auf sich mit f (∞) = ∞. Dabei bedeutet die Notation f (∞) = ∞, daß zu jedem M > 0 ein r > 0 existiert derart, daß | f (z)| > M für alle zH mit |z| > r.

Dann kann f zu einem Homömorphismus \(\hat{f}\) von \(\overline{H}\) auf sich fortgesetzt werden, und die Einschränkung \(h=\hat{f}|{\mathbb{R}}\) von \(\hat{f}\) auf ℝ ist eine quasisymmetrische Funktion. Ist umgekehrt eine quasisymmetrische Funktion h gegeben, so existiert eine quasikonforme Abbildung f von H auf sich derart, daß \(\hat{f}|{\mathbb{R}}=h\).

Die Menge aller normalisierten k-quasisymmetrischen Funktionen ist an jedem Punkt x ∈ ℝ gleichgradig stetig.

Quasisymmetrische Funktionen spielen z. B. beim Heftungssatz eine wichtige Rolle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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