Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Quotientenkriterium

Kriterium für die (absolute) Konvergenz von gewissen Reihen \(\displaystyle {\sum }_{\nu=1}^{\infty }{a}_{\nu}\) reeller oder komplexer Zahlen aν:

Hat man

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{n+1}|\le q\cdot |{a}_{n}| & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

für ein q mit 0 ≤ q < 1 und ein N ∈ ℕ, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{\nu=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)absolut konvergent (und damit konvergent).

Denn für n > N folgt

\begin{eqnarray}|{a}_{n}|\le {q}^{n-N}|{a}_{N}|,\end{eqnarray}

und so erhält man mit dem Majorantenkriterium und der bekannten Konvergenz der entsprechenden geometrischen Reihe unmittelbar die Behauptung.

Ist an ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, so kann die Voraussetzung |an + 1| ≤ q · |an | auch in der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\le q\end{eqnarray}

geschrieben werden, was die Bezeichnung des Kriteriums erklärt. Ergänzt wird das Kriterium gelegentlich noch durch die triviale Aussage:

Gilt für ein N ∈ ℕ

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{n+1}|\ge |{a}_{n}| & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

und aN ≠ 0, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{\nu=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)divergent.

Denn hier ist (aν) nicht einmal Nullfolge.

Es genügt für die Konvergenz nicht, daß \(\frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\lt 1\) für alle n ∈ ℕ ist, wie etwa die harmonische Reihe zeigt.

Gelegentlich wird das Kriterium (mit Ergänzung) unter Verwendung von Limes superior und Limes inferior wie folgt notiert:

Die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)ist absolut konvergent, wenn

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\text{sup}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\lt 1\end{eqnarray}

gilt. Aus

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\text{inf}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\gt 1\end{eqnarray}

folgt die Divergenz.

(Dabei ist die Divergenzaussage offenbar schwächer als die in der o. a. Ergänzung.)

Die aufgeführten Überlegungen gelten entsprechend für Reihen mit Gliedern aus einem Banachraum.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos