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Lexikon der Mathematik: Rankine-Hugoniot-Gleichung

allgemein für ein thermodynamisches System die Bedingung, daß eine unstetige, den Zustand des Systems charakterisierende Größe 𝔲, die einer Bilanzgleichung auf beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche genügt, eine schwache Lösung der Bilanzgleichung ist.

𝔲 sei eine i. allg. vektorielle Funktion des Raum-Zeit-Punktes mit den Koordinaten xB (x0 Zeitkoordinate, xr Raumkoordinaten (r = 1, 2, 3)), die den Zustand des Systems charakterisiert. Die Komponenten FA, die durch 𝔲 bestimmt werden, mit F0 als einer Dichte und mit den Fi(i = 1, 2, 3) als den Stromkomponenten mögen einer Bilanzgleichung \begin{eqnarray}\frac{\partial {F}^{A}}{\partial {x}^{A}}=\Pi\end{eqnarray} (Einsteinsche Summenkonvention!) genügen, wobei Π die Quelle charakterisiert.

Φ sei eine Testfunktion mit dem Träger in dem Raum-Zeit-Gebiet \({\mathcal{C}}\). 𝔲 wird schwache Lösung von (1) genannt, wenn gilt \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{{\mathcal{C}}}\left({F}^{A}\frac{\partial \Phi }{\partial {x}^{A}}+\Pi \Phi\right)d{\mathcal{C}}=0.\end{eqnarray}

Den rechtsseitigen (linksseitigen) Limes von 𝔲 an einer Unstetigkeitsfläche mit den Komponenten nA ihrer Normalen bezeichnen wir mit 𝔲+ (𝔲). Die Rankine-Hugoniot-Gleichung lautet dann \begin{eqnarray}({F}^{A}({{\mathfrak{u}}}_{+})-{F}^{A}({{\mathfrak{u}}}_{-})){n}_{A}=0.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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