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Lexikon der Mathematik: Raum konstanter Krümmung

eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g), deren Schnittkrümmung Kσ für jedes xM als Funktion der zweidimensionalen linearen Unterräume σ der Tangentialräume Tx(M) konstant ist.

Sofern M zusamenhängend ist, hängt Kσ nach dem Satz von Schur dann auch nicht mehr vom Punkt x ab.

Der Riemannsche Krümmungstensor von (M, g) ist eine Familie \begin{eqnarray}{R}_{x}:{T}_{x}(M)\times {T}_{x}(M)\to {T}_{x}(M)\,\,\,(x\in M)\end{eqnarray} bilinearer Abbildungen der Tangentialräume in sich. (M, g) hat genau dann konstante Schnittkrümmung, wenn diese bilinearen Abbildungen Rx die einfache Gestalt \begin{eqnarray}{R}_{x}(X,Y)(Z)=k\,(g(Z,Y)X-g(Z,X)Y)\end{eqnarray} haben, wobei X, Y, Z Vektoren des Tangentialrau- mes Tx(M) sind, und k ∈ ℝ eine Konstante, die konstante Schnittkrümmung von M.

Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten M konstanter Schnittkrümmung k werden auch Raumformen genannt. Man nennt Raumformen elliptisch, hyperbolisch oder flach, je nach dem, ob k > 0, k < 0 oder k = 0 ist.

Die Eigenschaft (1) ist eine so starke Bedingung, daß sich die Raumformen klassifizieren lassen. Zunächst sind alle Räume gleicher konstanter Krümmung k lokal isometrisch:

Sind (M1, g1) und (M2, g2) zwei Räume derselben konstanten Schnittkrümmung k, und sind \({x}_{1}\in {M}_{1},{x}_{2}\in {M}_{2}\)zwei Punkte, so existieren Umgebungen \({{\mathcal{U}}}_{1}\subset {M}_{1},{{\mathcal{U}}}_{2}\subset {M}_{2}\)von x1bzw. x2und eine isometrische Abbildung \(\varphi :{{\mathcal{U}}}_{1}\to {{\mathcal{U}}}_{2}\)mit \(\varphi ({x}_{1})={x}_{2}\).

Sind M1und M2überdies vollständig und einfach zusammenhängend, so kann man \({{\mathcal{U}}}_{1}={M}_{1}\)und \({{\mathcal{U}}}_{2}={M}_{2}\)setzen, d. h., dann sind M1und M2isometrisch.

Somit sind alle vollständigen, einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension und gleicher konstanter Schnittkrümmung k vom Standpunkt der Riemannschen Geometrie untereinander identisch. Es gibt verschiedene Standardmodelle \({H}_{k}^{n}\) der n-dimensionalen einfach zusammenhängenden Raumformen, wir erwähnen hier die folgende Konstruktion, die von einer Einbettung von \({H}_{k}^{n}\) als Quadrik in einem Euklidischen Raum ausgeht und sowohl eine einfache Beschreibung der Isometriegruppe als auch der Geodätischen erlaubt. Es sei \({{\mathbb{R}}}_{r}^{n+1}\) der (n + 1)-dimensionale Vektorraum mit dem kartesischen Koordinatensystem (x1, x2, …, xn, t) und der Riemannschen Metrik \begin{eqnarray}{g}_{r}=d{x}_{1}^{2}+d{x}_{2}^{2}+\ldots +d{x}_{n}^{2}+rd{t}^{2},(r\in {\mathbb{R}}).\end{eqnarray}.

Diese Metrik ist eine symmetrische Bilinearform Br auf \({{\mathbb{R}}}_{r}^{n+1}\), die positiv definit für r > 0, indefinit vom Index 1 für r < 0 und ausgeartet für r = 0 ist. Die Isometriegruppe von \(({{\mathbb{R}}}_{r}^{n+1},g_r)\) ist die orthogonale bzw. pseudoorthogonale Gruppe \(\text{O}({B}_{r})\subset \text{GL}(n+1,{\mathbb{R}})\) dieser Bilinearform.

Die n-dimensionale Raumform ist als Hyperfläche \({H}_{k}^{n}\subset {{\mathbb{R}}}_{1/k}^{n+1}\) durch die Gleichung \begin{eqnarray}k({x}_{1}^{2}+\ldots +{x}_{n}^{2})+{t}^{2}=1\end{eqnarray} definiert, wobei man im Fall k ≤ 0 noch die Bedingung t > 0 hinzunimmt, um eine der beiden zusammenhängenden Komponenten der Lösungsmenge der Gleichung (3) auszuschließen. Als Metrik von \({H}_{k}^{n}\) definiert man im Fall k ≠ 0 die von der flachen Metrik g1/k des umgebenden Raumes \({{\mathbb{R}}}_{1/k}^{n+1}\) induzierte Riemannsche Metrik. Im Fall k = 0 ist \({H}_{0}^{n}\) als Riemannscher Raum mit dem Euklidischen Raum ℝn identisch. Die Gruppe der isometrischen Transformationen von \({H}_{k}^{n}\) ist für k = 0 die Euklidische und für k ≠ 0 die Gruppe \(O({B}_{1/k})\), wobei man sich im Fall k < 0 auf die linearen Abbildungen aus \(O({B}_{1/k})\) beschränken muß, die den positiven Halbraum \begin{eqnarray}{{\mathbb{R}}}_{+}^{n+1}=\left\{({x}_{1},\ldots,{x}_{n},t)\in {{\mathbb{R}}}^{n+2};t\gt 0\right\}\end{eqnarray} in sich überführen.

Für k > 0 definiert die Abbildung \begin{eqnarray}({x}_{1},\ldots {x}_{n},t)\in {H}_{k}^{n}\to \left({x}_{1},\ldots,{x}_{n},\frac{t}{\sqrt{k}}\right)\in {{\mathbb{R}}}^{n+1}\end{eqnarray} eine Isometrie von \({H}_{k}^{n}\) auf die n-dimensionale Sphäre \({S}_{\varrho }^{n}\subset {{\mathbb{R}}}^{n+1}\) vom Radius \(\varrho =\frac{1}{\sqrt{k}}\).

Schließlich ist \({H}_{k}^{n}\) für k > 0 der Graph der Abbildung \begin{eqnarray}f({x}_{1},\ldots,{x}_{n})=\sqrt{1-k({x}_{1}^{2}+\ldots +{x}_{n}^{2})}\end{eqnarray} homöomorph zu ℝn. Obwohl der umgebende Raum in diesem Fall der pseudoeuklidische Raum ist, ist die Einschränkung von g1/k auf \({H}_{k}^{n}\) positiv definit und von konstanter Krümmung k.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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