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Lexikon der Mathematik: Regelfunktionen, Integral von

für eine Regelfunktion f und eine Folge (hn) von Treppenfunktionen mit ||hnf|| → 0 durch \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}{h}_{n}(x)dx\end{eqnarray} definiertes Integral.

Hierbei seien die reellwertige Funktion f auf [a, b] (mit −∞ < a < b < ∞) definiert, und die Supremumsnorm für eine auf [a, b] definierte reellwertige Funktion h durch \begin{eqnarray}\parallel h||:=\sup \{|h(x)|:x\in [a,b]\}\end{eqnarray} erklärt.

Für eine solche Folge (hn) ist die Folge der zugehörigen Integrale konvergent, und für jede andere Folge von Treppenfunktionen (kn) mit ||knf|| → 0 hat man \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}{h}_{n}(x)dx=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}{k}_{n}(x)dx.\end{eqnarray} Somit ist der o. a. Grenzwert unabhängig von der ‚approximierenden Folge‘ (hn) aus \({\mathfrak{E}}\), also das Integral \({\int}^{b}_{a}f(x)dx\) wohldefiniert.

Das Integral von Regelfunktionen ist nützlich, wenn man – etwa bei einer Einführung in die Analysis, deren Schwerpunkte nur die Rechenmethoden der Differential- und Integralrechnung darstellen – rasch ein Integral für eine Klasse von Funktionen, die wenigstens die wichtigsten umfaßt, einführen will. Es hat aber den gravierenden Nachteil, daß eine angemessene Verallgemeinerung aufs Mehrdimensionale nicht möglich ist.

Das Integral von Regelfunktionen wird durch das (eigentliche) Riemann-Integral erweitert, also erst recht durch das uneigentliche Riemann-Integral, und deutlich durch das Lebesgue-Integral (Integrationstheorie).

In gleicher Weise kann das Integral von komplexoder gar Banachraum-wertigen Regelfunktionen eingeführt werden. Auch eine Ausdehnung auf andere Integralbegriffe, wie etwa entsprechende Stieltjes-Integrale, ist möglich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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