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Lexikon der Mathematik: Regula falsi

iteratives numerisches Verfahren zur Lösung nichüinearer Gleichungen der Form f(x) = 0 mit stetiger reeller Funktion f und unbekanntem reellem x.

Voraussetzung ist die Kenntnis eines Intervalls [x1, x2], an dessen Rändern f jeweils unterschiedliches Vorzeichen besitzt, und das somit eine NullStelle enthalten muß. Mit y1 = f(x1), y2 = f(x2) wird danach \begin{eqnarray}{x}_{3}:=\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}\end{eqnarray} als Nullstelle der linearen Interpolation zwischen den bekannten Punkten (x1, y1) und (x2, y2) berechnet und das Vorzeichen von y3 = f(x3) ermittelt. Besitzt y3 dasselbe Vorzeichen wie y1, wird x1 durch x3 ersetzt, andernfalls wird x2 durch x3 ersetzt. Anschließend wird das Verfahren mit dem neuen, verkleinerten Intervall fortgesetzt und ein neuer Testwert berechnet.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Regula falsi
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Regula falsi

Zu jedem Zeitpunkt enthält nach Konstruktion das jeweilige Intervall mindestens eine Nullstelle, wobei sich der Durchmesser stets verkleinert. Falls f in [x1, x2] konkav oder konvex ist, konvergiert die Folge der Testwerte monoton gegen die Nullstelle in diesem Intervall.

Die Regula falsi („Regel des falschen Ansatzes“) kann auch interpretiert werden als ein Iterationsschritt im Sekantenverfahren, welches wiederum eine Modifikation des Newtonverfahrens ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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