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Lexikon der Mathematik: Residuensatz für kompakte Riemannsche Flächen

fundamentaler Satz in der Funktionentheorie mehrer Variabler.

Es sei X eine zusammenhängende kompakte Riemannsche Fläche mit Strukturgarbe \({\mathcal{O}}\). \( {\mathcal M} \) bezeichne die Garbe der Keime der meromorphen Funktionen auf X und Ω = Ω1 die Garbe der Keime der holomorphen 1−Formen auf X (wegen dimX = 1 verschwinden alle Garben Ωi, i > 1). \({\mathcal{D}}={ {\mathcal M} }^{* }/{{\mathcal{O}}}^{* }\) sei die Garbe der Keime der Divisoren. Die Divisorengruppe \(DivX:={\mathcal{D}}(X)\) ist kanonisch isomorph zu der von den Punkten xX erzeugten freien abelschen Gruppe, jeder Divisor D ist also von der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}D=\displaystyle \sum _{x\in X}{n}_{x}x, & {n}_{x}\in {\mathbb{Z}}, & {n}_{x}=0 & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{fast all}\ x.\end{array}\end{eqnarray} Weiter sei R die Menge aller Abbildungen F = (fx), die jedem Punkt xX einen Keim \({f}_{x}\in { {\mathcal M} }_{x}\) zuordnen, so daß fast alle fx holomorph sind, offensichtlich ist R ein ℂ-Vektorraum. Für jeden Divisor D ist \begin{eqnarray}R(D):=\{F\in R,{f}_{x}\in {\mathcal{O}}{(D)}_{x}\}\end{eqnarray} ein Untervektorraum von R. Da Ω lokal-frei vom Rang 1 ist, schreibt sich jeder meromorphe Keim \({\omega }_{x}\in {\Omega }_{x}^{\infty }\), sobald eine Ortsuniformisierende \(t\in {{\mathcal{O}}}_{x}\) fixiert ist, eindeutig in der Form ωx = hxdt mit hx ∈ \({h}_{x}\in { {\mathcal M} }_{x}\). Das Residuum Resxωx von ωx in x ist invariant definiert als der Koeffizient von t−1 in der Laurententwicklung von hx bzgl. t; es ist \begin{eqnarray}Re{s}_{x}{\omega }_{x}=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{\partial H}hdt,\end{eqnarray} wenn H ein „kleiner Kreis“ um x und h ein in einer Umgebung von \(\bar{H}\) holomorpher Repräsentant von hx ist. Dies entspricht der Definition des Residuums in der Funktionentheorie einer Variablen.

Für alle Keime ωxΩx gilt Resxωx = 0.

Ist nun ω ∈ Ω (X) eine globale meromorphe Differentialform und F = (fx) ∈ R, so gilt fxωxΩx für fast alle Punkte xX. Daher ist die Summe \begin{eqnarray}\langle \omega,F\rangle :=\sum _{x\in X}\mathrm{Re}{\text{s}}_{x}({f}_{x}{\omega }_{x})\in {\mathbb{C}}\end{eqnarray} endlich. Es gelten die beiden Sätze:

Die Abbildung \begin{eqnarray}\langle,\rangle :{\Omega }^{\infty }(X)\times R\to {\mathbb{C}},(\omega,f)\mapsto \langle \omega,f\rangle \end{eqnarray}

ist eine ℂ-Bilinearform, und es gilt:

  1. hω, F⟩ = ⟨ω, hFfür alle \(h\in {\mathcal M} (X)\).
  2. ω, F⟩ = 0 für alle ωΩ (D) (X), FR (−D).

Der Residuensatz lautet nun:

Es gilt \begin{eqnarray}\langle \omega,h\rangle =0\end{eqnarray}für alle ω ∈ Ω (X), \(h\in {\mathcal M} (X)\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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