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Lexikon der Mathematik: Resonanz dritter Ordnung

Begriff aus der symplektischen Geometrie.

Gilt für ein Hamiltonsches System im ℝ2n eine Resonanzbeziehung der Ordnung ∈ in der Nähe eines kritischen Punktes, so bricht die Näherung der Birkhoffschen Normalform zusammen, und die Analyse des Systems muß verfeinert werden.

Ein anschauliches Beispiel hierfür liefert ein Hamiltonsches System im ℝ4, das eine geschlossene Trajektorie γ auf einer kompakten regulären Energiehyperfläche besitzt. Es läßt sich zeigen, daß es auch auf benachbarten Energiehyperflächen geschlossene Trajektorien gibt, die sich in einem Zylinder im ℝ4 organisieren. Betrachtet man nun eine zum Fluß transversale zweidimensionale lokale Untermannigfaltigkeit S, so gibt es eine Poincaré-Abbildung Θ, die S symplektisch auf S abbildet und den Durchstoßpunkt von γ als Fixpunkt hat.

Wir nehmen nun an, daß es auf derselben Energiehyperfläche eine benachbarte geschlossene Trajektorie gibt, deren Periode ein Drittel der Periode von γ ausmacht. Nähert man das System polynomial bis zur dritten Ordnung in den Koordinaten an, und nimmt man nur die Terme in der Fourierreihe mit, für die die Resonanzbeziehung dritter Ordnung erfüllt ist, die sogenannten Resonanzglieder, so ergibt sieh nach weiteren Vereinfachungen die approximative Beschreibung des Systems auf S ≅ ℝ2 durch folgende Hamilton-Funktion auf S: \begin{eqnarray}{H}_{0}(x,y)=\frac{\varepsilon }{2}({x}^{2}+{y}^{2})+({x}^{3}-3x{y}^{2}).\end{eqnarray}

Hierbei beschreibt der Parameter ε die von den verschiedenen Energiehyperflächen des großen Systems abhängige Frequenzabweichung von der Periode von γ. Schreibt man die Hamilton-Funktion in der Form (z := x + iy, q := exp(2πi/3)) \begin{eqnarray}{H}_{0}(z)=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}-\frac{\varepsilon }{3}\right)\left(z+q\bar{z}-{q}^{2}\frac{\varepsilon }{3}\right)\cdot \left(z+{q}^{2}\bar{z}-q\frac{\varepsilon }{3}\right)+\frac{{\varepsilon }^{3}}{54},\end{eqnarray} so ist leicht einzusehen, daß die Teilmenge von S, auf der H den Wert ε3 /54 annimmt, aus der Vereinigung dreier Geraden (der sogenannten Separatri- zen) besteht, die um den Ursprung ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge proportional ε bilden, dessen Eckpunkte instabile Fixpunkte des Systems darstellen. Der Ursprung ist für echt positives ε ein stabiler Fixpunkt, sonst instabil.

Vergleicht man die Dynamik dieses genäherten Systems mit der ungenäherten Dynamik, die die Poincaré-Abbildung auf S beschreibt, so können sich im allgemeinen qualitative Unterschiede ergeben: Man kann annehmen, daß auch die dritte Potenz A der Poincaré-Abbildung drei (im allgemeinen instabile) Fixpunkte hat, die um den Ursprung herum angeordnet sind. Definiert man die Separatrizen Γ+ von A als die Menge derjenigen Punkte p in S, für die der Grenzwert limn→+∞An(p) einer der drei Fixpunkte ist, so stellt man fest, daß diese Kurven im allgemeinen nicht identisch sind mit denjenigen Kurven Γ, die man erhielte, wenn man forderte, daß der Grenzwert limn→−∞An(p) einer der drei Fixpunkte ist, ganz im Gegensatz zum genäherten System, wo stets Γ+ = Γ gerade die Dreieckskanten ausmachen. Insofern spalten sich die Separatrizen des genäherten Systems in zwei Typen von Kurven auf.

Man kann auch Resonanzen höherer Ordnung n in derselben Weise untersuchen. Benutzt man Polarkoordinaten (τ, ϕ), wobei \begin{eqnarray}\tau (x,y)=\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})\end{eqnarray} ist und ϕ den Winkel von (x, y) zur x-Achse beschreibt, so läßt sich für die genäherte Hamilton- Funktion die Form \begin{eqnarray}{H}_{0}(\tau,\phi ):=\varepsilon \tau +{\tau }^{2}\alpha (\tau )+a{\tau }^{n/2}\cos (n\phi )\end{eqnarray} ansetzen, wobei a ∈ ℝ \ {0} und α : ℝ → ℝ eine C-Funktion ist, für die α(0) = ±1 gilt. Falls α verschwände, so erhielte man im Falle n = 3 die obige genäherte Hamilton-Funktion zurück. Für n ≥ 5 gibt es bei passender Wahl des Vorzeichens von ε, a und α außerhalb des Urprungs noch 2n regelmäßig angeordnete Fixpunkte, von denen die Hälfte stabil ist, so daß es um sie herum geschlossene Trajekto- rien gibt, die sogenannten Phasenschwingungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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