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Lexikon der Mathematik: strikt einschließende Intervallarithmetik

Erweiterung der Intervallarithmetik auf \({\mathbb{I}}\overline{{\mathbb{R}}}=\{[\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}},\overline{a}]|\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}},\overline{a}\in \overline{{\mathbb{R}}},\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}}\le \overline{a}\}\cup \{0\}.\). Dabei werden die arithmetischen Verknüpfungen &ogr; auf \(\overline{{\mathbb{R}}}={\mathbb{R}}\cup \{-\infty, +\infty \}\) sinnvoll erweitert, indem für unbestimmte Formen a&ogr;b wie z. B. 0·∞ die Grenzwerte limaka, bkbak &ogr; bk für alle möglichen Folgen (ak) ∈ a,(bk) ∈ b betrachtet werden. Es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\bf a}\,{\unicode {x03BF}}\,{\bf b}=\diamond \overline{\{a\,{\unicode {x03BF}}\,b|a\in {\bf a},b\in {\bf b}\}}.\end{array}\end{eqnarray}

⋄ bezeichnet die Intervall-Hülle in \({\mathbb{I}}\overline{{\mathbb{R}}}\). Division durch Intervalle, die die 0 enthalten, ist erlaubt, nach (1) wird a/b = [−∞, +∞] gesetzt, falls 0 ∈ b. Etwas genauer wird die Einschließung der Divisionsergebnisse, wenn man mit dem als Außenintervall interpretierten formalen Kehrwert (2) multipliziert. \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\begin{array}{lll}1/{\bf b} & = & [1/\overline{b},1/\mathop{b}\limits_{\unicode {x000AF}}]\\ & = & \{1/b/b\in {\bf b}\}\\ & = & \{x|x\le 1/\mathop{b}\limits_{\unicode {x000AF}}\}\cup \{x|x\ge 1/\overline{b}\},\,\text{falls}\,0\in {\bf b}\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

Eine formale Erweiterung der Arithmetik für Au-ßenintervalle ist durch Zerlegung der Außenintervalle möglich, beispielsweise \begin{eqnarray}{\bf a}\,{\unicode {x003BF}}\,({\bf b}\cup {\bf c})=({\bf a}\,{\unicode {x003BF;}\,\bf b})\cup ({\bf a}\, {\unicode {x003BF}\,{\bf c}})),\end{eqnarray}

führt aber schnell zu Ergebnissen [−∞, +∞]. Sinnvoll ist jedoch eine Verwendung der erweiterten Division im Intervall-Newton-Verfahren.

Auch für Intervall-Standardfunktionen gilt die (1) entsprechende Formel \begin{eqnarray}{\bf f}({\bf x})=\diamond \overline{\{f(x)|x\in {\bf x}\cap D(f)\}}.\end{eqnarray}

Man berechnet Funktionswerte nur für den Durchschnitt mit dem Definitionsbereich xD(f). Ist dieser leer, ist das Ergebnis die leere Menge. Für Polstellen werden die passenden Grenzwerte eingesetzt, z. B. ist tan \((\frac{\pi}{2})=[-\infty, +\infty ]\). Die Einschlie-ßungseigenschaft der Intervallrechnung gilt nun in verallgemeinerter Form.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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