Möglichkeit, gewissen divergenten Reihen sinnvoll noch eine Summe zuzuordnen, sie zu limitieren oder zu summieren.

Ein wichtiger Anstoß für die Beschäftigung mit dieser Fragestellung war die mögliche Divergenz des Produktes zweier konvergenter Reihen. Bekannte Vertreter sind beispielsweise das Abel-Summationsverfahren und das Cesàro-Summationsverfahren, die beide große Bedeutung in der Theorie der Fourier-Reihen haben.

Ist A = (a_ν, _µ) eine unendliche Matrix (ν, µ ∈ ℕ) und s eine (reelle oder) komplexe Zahl, so heißt eine Zahlenfolge (x_n) genau dann A-limitierbar oder A-summierbar zum Wert s, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{y}_{\nu}:=\displaystyle \sum _{\mu =1}^{\infty}{a}_{\nu, \mu}{x}_{\mu} & \text{konvergiert und}\\ {y}_{\nu}\to s(\nu \to \infty) & \text{gilt}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Matrix (oder das Limitierungsverfahren) A heißt genau dann permanent, wenn jede konvergente Folge (x_n) A-limitierbar zu ihrem Grenzwert ist.

Der folgende Permanenzsatz von Otto Toeplitz, gelegentlich auch nach Silverman-Toeplitz benannt, charakterisiert die permanenten Matrizen:

Genau dann ist A = (a_ν, µ) permanent, wenn \begin{eqnarray}\begin{array} \text {\sup}_{\nu \in {\mathbb{N}}}\displaystyle \sum _{\mu =1}^{\infty}|{a}_{\nu, \mu}|\lt \infty, \\\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\nu \to \infty}{a}_{\nu, \mu}=0\quad f\ddot{u}r\,{alle}\quad \mu \in {\mathbb{N}}\quad \text{}und\\\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\nu \to \infty}\displaystyle \sum _{\mu =1}^{\infty}{a}_{\nu, \mu}=1\end{array}\end{eqnarray}

gelten.

Ist (p_n) eine Folge positiver reeller Zahlen und \({P}_{n}:=\mathop{\sum ^{n}_{v=1}} {p}_{v}\), so ist die durch \begin{eqnarray}{a}_{\nu, \mu}:=\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{{p}_{\mu}}{{P}_{\nu}}, & \mu \le \nu \\ 0 & \mu \gt \nu \end{array}\quad (\nu, \mu \in {{\mathbb{N}}})\right.\end{eqnarray}

definierte (untere Dreiecks-) Matrix ((a_{ν, μ})) genau dann permanent, wenn \(\mathop{\sum ^{n}_{v=1}} {p}_{v}\) divergiert. Diese Limitierungsverfahren werden nach dem russischen Mathematiker Georgi Feodosewitsch Voronoi benannt.

Speziell für p_ν := 1 (ν ∈ ℕ) erhält man das Cesàro-Summationsverfahren oder auch Cesàro (C, 1)-Summationsverfahren, das verallgemeinert werden kann zur Cesàro (C, α)-Summierbarkeit für komplexe Zahlen α mit positivem Realteil durch \begin{eqnarray}{a}_{\nu, \mu}:=\left\{\begin{array}{r}\displaystyle\frac{{C}_{\nu -\mu}^{\alpha}}{{C}_{\nu}^{\alpha +1}}, & \mu \le \nu \\ 0 & \mu \gt \nu \end{array}\quad (\nu, \mu \in {{\mathbb{N}}}_{0}),\right.\end{eqnarray}

wobei \({C}_{0}^{\alpha}:=1\) und \begin{eqnarray}{C}_{m}^{\alpha}:=\frac{\displaystyle \prod _{\mu =0}^{m-1}(\alpha +\mu)}{m!}=\left(\begin{array}{c}m+\alpha -1\\ m\end{array}\right)\end{eqnarray}

für m ∈ ℕ

Unter zusätzlichen Voraussetzungen (Umkehrbedingungen) erlauben Umkehrsätze den Schluß von der transformierten Folge auf die ursprüngliche. Für das Abel-Summationsverfahren etwa sind das Tauber-Sätze, für das Cesàro-Summationsverfahren die Sätze von Hardy-Landau.