Matrixdarstellung einer linearen symplektischen Abbildung des ℝ²ⁿ in sich.

Eine reelle (2n × 2n)-Matrix S heißt demzufolge symplektisch, falls gilt \begin{eqnarray}{S}^{T}IS=I\,\text{mit}\,I:=\left(\begin{array}{cc}{0}_{n} & -{1}_{n}\\ {1}_{n} & {0}_{n}\end{array}\right)\end{eqnarray}

wobei 0_n die (n × n)-Nullmatrix, 1_n die (n × n)-Einheitsmatrix und (·)^T die Transposition von Matrizen bezeichnet. Falls λ ein Eigenwert von S ist, so sind auch \(\bar{\lambda}\), λ⁻¹ und \({\bar{\lambda}}^{-1}\) Eigenwerte von S.