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Lexikon der Mathematik: Vektoriterationsverfahren

iterative Verfahren zur Bestimmung einzelner Eigenwerte und zugehöriger Eigenvektoren einer Matrix A ∈ ℝn×n.

Durch wiederholte einfache Matrix-Vektor-Multiplikationen oder wiederholtes Lösen eines Gleichungssystems werden Approximationen an einzelne Eigenvektoren einer Matrix A berechnet. Dabei fallen auch Approximationen an den zugehörigen Eigenwert an.

Mit der Potenzmethode kann man den betragsgrößten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor von A bestimmen. Die Potenzmethode hat den Nachteil, daß nur Eigenwerte und Eigenvektoren zu betragsgrößten Eigenwerten bestimmt werden können; außerdem ist die Konvergenz sehr langsam. Darüberhinaus ist häufig schon eine Näherung an einen Eigenwert einer Matrix A bekannt und der zugehörige Eigenvektor gesucht. Diesen kann man schnell und effizient mit der inversen Iteration berechnen.

Bei diesen Verfahren wird stets nur ein Eigenvektor approximiert. Falls weitere Eigenvektoren benötigt werden, kann man wie folgt vorgehen: Die Matrix A wird mittels Deflation in eine Matrix B überführt, deren Spektrum alle Eigenwerte von A außer dem bereits berechneten enthält. Anschließend wendet man dann die Potenzmethode bzw. inverse Iteration auf B an.

Eine andere Möglichkeit ist es, den Ansatz der Potenzmethode bzw. der inversen Iteration folgendermaßen zu verallgemeinern: Man startet die Iteration statt mit einem einzelnen Startvektor x0 mit einer Startmatrix X0 ∈ ℂn×p, um p Eigenwerte und den zugehörigen Eigenraum gleichzeitig zu bestimmen. Dies führt auf Unterraum-Iterationsmethoden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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