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Lexikon der Mathematik: Verknüpfungsoperationen für Mengen

Operationen, die zwei oder mehrere Mengen miteinander verknüpfen.

Sind zwei Mengen X und Y vorgelegt, so heißt X eine Teilmenge von Y (in Zeichen: XF) genau dann, wenn jedes Element der Menge X auch ein Element der Menge Y ist. Man spricht dann auch von der Inklusion der Menge X in der Menge Y und nennt Y eine Obermenge von X.

Nach dem Extensionalitätsaxiom der axioma- tischen Mengenlehre heißen die Mengen X und Y genau dann gleich (in Zeichen: X = Y), wenn sie genau die gleichen Elemente enthalten, d.h., genau dann, wenn Xy und YX gilt. Sind X und Y nicht gleich, so schreibt man XY.

Gilt XY und XY, so nennt malli eine echte Teilmenge von Y, sowie Y eine echte Obermenge von X. In diesem Fall ist die Schreibweise XY gebräuchlich.

Beispiele:

  1. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und echte Teilmenge jeder von der leeren Menge verschiedenen Menge. Jede Menge X ist Teilmenge von sich selbst: XX.
  2. Es gelten die Beziehungen \( \varnothing =\{x\in \mathbb{N}:3:\lt x \lt4\},\{1,1,2 \}=\{1,2\},{{\mathbb{Z}}^{+}}=\mathbb{N},[0,1]=\{x\in \mathbb{R}:-x\ge -1\wedge x\ge 0\} \), \( \left\{\frac{2x}{x}:x\in \mathbb{Z},x\ne 0 \right\}=\left\{2,4,6,\ldots \right\} \).
  3. Es gelten die Beziehungen \( \left\{5,19,345 \right\}\subsetneq \{x\in \mathbb{N}:3 \lt x\},\mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z},]0,\,1[\subsetneq \left\{x\in \mathbb{R}:-x\ge -1\wedge x\ge 0 \right\},\,\left\{\frac{4x}{x}:x\,\in \mathbb{Z},x\ne 0 \right\}\subsetneq \left\{2,4,6,\ldots \right\} \).

Man nennt „⊆“ Teilmengenrelation. Man beachte, daß es sich bei der Teilmengenrelation um eine Relation auf der Klasse aller Mengen handelt. Die Teilmengenrelation ist eine echte Klasse. Der eigentlich für Mengen definierte Begriff der Relation wird hier also in einem auf Klassen verallgemeinerten Sinne verwendet. Zur formalen Interpretation solcher Verallgemeinerungen siehe T’axio- matische Mengenlehre.

Besteht eine Menge X aus genau einem Element X, d.h., gilt X = {x}, so nennt man X Einermenge oder Singletonmenge.

Sind x und y gegeben, so nennt man die Menge {x, y} Paarmenge oder auch das ungeordnete Paar, bestehend aus x und y. Im Gegensatz dazu heißt die Menge {{x}, [x, y}} das aus x und y bestehende geordnete Paar und wird mit (x, y) bezeichnet.

Das kartesische Produkt zweier Mengen X und Y wird mit X × Y bezeichnet und besteht aus allen geordneten Paaren (x, y) mit xX und yY, d. h., X × Y : = {(x, y) : xXyY}.

Es sei \( {{({{X}_{i}})}_{i\in I}} \) eine Familie von Mengen mit einer Indexmenge I. Der Durchschnitt oder auch das mengentheoretische Produkt der Mengen Xi, i ∈ I, ist erklärt durch \( {{\Pi}_{i\in I}}{{X}_{i}}:=\underset{i\in I}{\mathop \cap}\,{{X}_{i}}:=\{x:x\in {{X}_{i}}\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,i\in I\} \) Ist \( I=\left\{{{i}_{1}},\ldots {{i}_{n}} \right\},n\in \mathbb{N} \), eine endliche Menge, so schreibt man auch \( {{X}_{{{i}_{1}}}}\cdot \ldots \cdot {{X}_{{{i}_{n}}}} \) bzw. \( {{X}_{{{i}_{1}}}}\mathop{\cap}^{}\ldots \mathop{\cap}^{}{{X}_{{{i}_{n}}}} \) anstatt \( \underset{i\in I}{\mathop \prod}\,{{X}_{i}} \) bzw. \( \underset{i\in I}{\mathop \cap}\,{{X}_{i}} \)

Die Mengen Xi, i ∈ I, heißen durchschnittsfremd oder disjunkt, auch paarweise disjunkt, genau dann, wenn für alle i,j ∈ I aus i ≠ j folgt, daß \( {{X}_{i}}\mathop{\cap}^{}{{X}_{j}}=\varnothing \).

Beispiele:

4. \( \{1,2,3\}\bigcap \{3,4,5\}=\{3\},\mathbb{R}\cap \mathbb{Q}=\mathbb{Q}\{\sqrt{2}\}\bigcap \mathbb{Q}=\varnothing, \{-1,2,-3,4,5\}\bigcap {{\mathbb{Z}}^{-}}\bigcap \{-1,7,-3\}=\{-1,-3\},\mathbb{C}\bigcap [-5,8]\bigcap {{\mathbb{Q}}^{+}}\bigcap \{\sqrt{5},\frac{100}{3},\frac{3}{5},1\}=\{\frac{3}{5},1\},{{\bigcap}_{i\in \mathbb{R}}}\mathbb{N}=\mathbb{N},{{\bigcap}_{n\in \mathbb{N}}}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]=\{0\},\,{{\bigcap}_{n\in \mathbb{N}}}(0,\frac{1}{n}]=\varnothing \).

5. Folgende Mengen von Mengen sind durch-schnittsfremd: \( \left\{\left\{1,2 \right\},\left\{5,7 \right\} \right\},\left\{\mathbb{N},\mathbb{C}\backslash \mathbb{R},\left\{\sqrt{2},\sqrt{5} \right\} \right\},\,\left\{\left\{n \right\}:n\in \mathbb{N} \right\},\left\{(n,n+1):n\in \mathbb{Z} \right\},\left\{\left\{x,x+1 \right\}:x\in (0,1) \right\} \).

6. Folgende Mengen von Mengen sind nicht durchschnittsfremd: \( \{\{1,2\},\{2,7\},\varnothing \},\{\mathbb{N},\mathbb{C},\{\sqrt{2,}\sqrt{5}\}\},\{\{n,n+1\}:n\in \mathbb{N}\},\{\{n\}:n\in \mathbb{N}\}\bigcup \{\{\frac{1}{2},5\}\},\{[n,n+1]:n\in \mathbb{Z}\},\{\{x,2x\}:x\in (0,1)\} \).

Die Vereinigung oder auch die mengentheoretische Summe der Mengen Xi, i ∈ I, ist erklärt durch \( \underset{i\in I}{\mathop \sum}\,{{X}_{i}}:=\underset{i\in I}{\mathop \cup}\, \)Xi := {x es gibt ein iI mit xXi}. Ist \( I=\left\{{{i}_{1}},\ldots, {{i}_{n}} \right\},n\in \mathbb{N} \), eine endliche Menge, so schreibt man auch \( {{X}_{{{i}_{1}}}}+\cdots +{{X}_{{{i}_{n}}}} \) bzw. \( {{X}_{{{i}_{1}}}}\mathop{\cup}^{}\cdots \mathop{\cup}^{}{{X}_{{{i}_{n}}}} \) anstatt \( \underset{i\in I}{\mathop \sum}\,{{X}_{i}} \) bzw. \( \underset{i\in I}{\mathop \cup}\,{{X}_{i}} \).

Die Vereinigung der Mengen Xi, ii, heißt disjunkt genau dann, wenn die Mengen Xi, i ∈ I, disjunkt sind. Man benutzt dann auch die Symbole „\( \overset{}{\mathop \cup}\, \)“ und „\( \overset{}{\mathop \cup}\, \)“ anstelle der Symbole „\( \mathop{\cup}^{} \)“ und „\( \mathop{\cup}^{} \)“.

Beispiele: \begin{eqnarray} \begin{array}{*{35}{rcl}} \left\{1,2,3 \right\}\cup \left\{3,4,5 \right\} & = & \left\{1,2,3,4,5 \right\}, \\ \left\{1,2,3 \right\}\cup \left\{4,5 \right\} & = & \left\{1,2,3,4,5 \right\}, \\ \mathbb{R}\cup \mathbb{Q} & = & \mathbb{R}, \\ \left\{-1,2,-3,4,5 \right\}\cup {{\mathbb{Z}}^{-}} & \cup & \left\{-1,7,-3 \right\}, \\ {} & = & \left\{...,-2,-1,2,4,5,7 \right\}, \\ \bigcup\limits_{i\in \mathbb{R}}{\mathbb{N}} & = & \mathbb{N}, \\ \bigcup\nolimits_{k\in \mathbb{Z}}{\left\{k \right\}} & = & \mathbb{Z}\text{,} \\ \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}}{\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n} \right]} & = & \left[ -1,1 \right], \\ \bigcup\limits_{\left(p,q \right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}}{\left\{\frac{p}{q} \right\}} & = & \mathbb{Q}. \\ \bigcup\limits_{\left\{\left(p,q \right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}:\frac{p}{q}\mathrm gek\ddot{\mathrm u}\mathrm rzt\,\right\}}{{}} & {} & \left\{\frac{p}{q} \right\}=\mathbb{Q}. \\\end{array} \end{eqnarray} Sind X und Y Mengen, so heißt \( X\backslash Y:=\{x\in X:x\notin Y) \) (sprich: „X minus Y“ oder „X ohne Y“) die mengentheoretische Differenz der Mengen Xundy. Man nennt X\Y dann auch Differenzmenge oder Restmenge. Die Menge \( X\Delta Y:=\left\{x\in X:x\notin Y \right\}\overset{}{\mathop \cup}\,\left\{y\in Y:y\notin X \right\} \), die aus allen Elementen besteht, die entweder in X oder in Y liegen, heißt die symmetrische Differenz der Mengen X und Y.

Beispiele:

{1, 2, 3} \ {3, 4, 5} = {1, 2}, {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}, \(\mathbb{Q}\) \ \(\mathbb{R}\) = Ø, \(\mathbb{R}\) \ \(\mathbb{Q}\) = \(\mathbb{R}\) Δ \(\mathbb{Q}\) = {x ∈ \(\mathbb{Q}\) : x irrational}, \(\mathbb{Q}\) \ [0,1] = \(\mathbb{Q}\)∪ {q ∈ \(\mathbb{Q}\) : q > 1}, \(\mathbb{Q}\) Δ [0, 1] = \(\mathbb{Q}\)∪{q ∈ \(\mathbb{Q}\) : q > 1} ∪ {0 < x < 1 : x irrational}.

Ist YX, so erklärt man häufig X zur Grundmenge. In diesem Fall bezeichnet man die Menge X\Y mit Yc und nennt sie die Komplementärmenge von Y bezüglich X.

Beispiele:

Bezuglich der Grundmenge {1,2,3,4,5} gilt {1,2,3}c = {4, 5}; bezüglich der Grundmenge ℤ gilt {1,2,3}c = {…,−2,−1,0,4,5,6…} sowie \( \mathbb{N}_{0}^{c}={{\mathbb{Z}}^{-}} \).

Die Verknüpfungen Durchschnitt (XY), Vereinigung (XY) und Differenz (X \ Y) werden als Boolesche Kombinationen der Mengen X und Y bezeichnet.

Das kartesische Produkt der Mengen Xi, i ∈ I ist die Menge \begin{eqnarray} \left\{f:I\to \bigcup\limits_{j\in I}{{{X}_{j}}:f\left(i \right)\in {{X}_{i}}\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\ i\in \text{I}} \right\}; \end{eqnarray} sie wird mit Xi∈IXi bezeichnet.

Elemente von kartesischen Produkten aus n Mengen mit n ∈ ℕ heißen geordnete n-Tupel. Für n = 3 spricht man von geordneten Tripeln.

Für zwei Mengen X1 und X2 liefern die obigen Definitionen des kartesischen Produktes unterschiedliche Ergebnisse: Im ersten Fall hat man X1 × X2 = {(x, y) : xX1, yX2] und im zweiten Fall \begin{eqnarray} \begin{matrix} {{\text{X}}_{i\in \left\{1,2 \right\}{{X}_{i}}}} & =\left\{f:\left\{1,2 \right\}\to {{X}_{1}}\cup {{X}_{2}}:f\left(1 \right)\in {{X}_{1}},\in {{X}_{1}},f\left(2 \right)\in {{X}_{2}} \right\}, \\ {} & =\left\{\left(\left\{1,2 \right\},{{X}_{1}}\cup {{X}_{2}},\left\{\left(1,x \right),\left(2,y \right) \right\} \right):x\in {{X}_{1}},y\in {{X}_{2}} \right\}. \\ \end{matrix} \end{eqnarray} Da die Abbildung \( i:{{X}_{1}}\times {{X}_{2}}\to {{X}_{i\in \left\{1,2 \right\}}}{{X}_{i}},(x,y)\mapsto (\left\{1,2 \right\},{{X}_{1}}\mathop{\cup}^{}{{X}_{2}},\left\{(1,x),(2,y) \right\}) \) eine kanonische Bijektion zwischen den Mengen X1 × X2 und \( {{X}_{i\in \left\{1,2 \right\}}}{{X}_{i}} \) liefert, ist es üblich, die beiden Mengen zu identifizieren.

Beispiel:

\( {{X}_{i\in [0,1]}}\mathbb{R} \) ist die Menge aller reellwertigen Abbildungen auf [0,1].

Rechenregeln für Mengenoperationen :

Die Durchschnitts- und Vereinigungsbildung von Mengen sind kommutativ, assoziativ und distributiv. Z.B. gilt für zwei Mengen X, Y, daßXY = YX und XY = YX sowie für drei Mengen X, Y, Z, daß (XY)∩Z = X∩(YZ), (XY)Z = X∩(YZ), X∪(YZ) = (X∩Y) ∪ (XZ) und X∪(YZ) = (XY) ∩ (XZ).

Weiterhin gilt X ∩ (XY) = X, X, ∪ (Xy) = X, XX = X, XX = X, X\X = Ø, X ∩ ø ø = ø und X ∪ ø = X.

Sind X und Y in einer Grundmenge G enthalten, so gilt XG = X, XG = G, XXc = ø, XXc = G, (XY)c = XcYc und (XY)c = XcYc. Diebeiden letzten Regeln heißen die de Morganschen Gesetze für Mengen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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