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Lexikon der Mathematik: Weierstraß-Cosinusreihe

die im Jahr 1861 von Karl Theodor Wilhelm Weierstraß untersuchte Reihe \begin{eqnarray}{f}_{a,b}(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{b}^{k}\cos ({a}^{k}\pi x)\end{eqnarray} mit 0 < b < 1 und a ≥ 1. Nach dem Satz von Weierstraß ist die durch diese Reihe definierte Funktion \({f}_{a,b}:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) stetig (man betrachte die geometrische Reihe \(\mathop{\sum_{n=0}^{\infty}}{b}^{k}\) als Majorante). Nach dem Satz über die Differentiation der Summenfunktion einer Reihe ist fa, b im Fall ab < 1 sogar differenzierbar. Weierstraß zeigte, daß bei Wahl von a als ungerader natürlicher Zahl mit ab > 1 + 3π/2 die Funktion fab nirgends differenzierbar ist. Sie ist damit ein klassisches Beispiel einer nirgends differenzierbaren stetigen Funktion. Im Jahr 1916 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, daß fab schon für ab > 1 nirgends differenzierbar ist.

Die Teilfunktionen bk cos(akπx) sind Cosinusschwingungen mit für wachsendes k monoton gegen 0 fallender Amplitude und aufgrund ihrer schnell fallenden Wellenlänge zunehmender Steilheit. Die Näherungsfunktionen \begin{eqnarray}{f}_{a,b}^{n}(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{b}^{k}\cos ({a}^{k}\pi x)\end{eqnarray} werden daher mit wachsendem n immer, rauher’. Ihre Graphen ähneln denen der Näherungsfunktionen zur Knopp-Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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