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Lexikon der Mathematik: Weyl-Ungleichung

Ungleichung über die Eigenwerte eines kompakten Operators auf einem Hilbertraum.

Es sei (λn) die Eigenwertfolge eines kompakten Operators T auf einem Hilbertraum; dabei werde jeder Eigenwert μ ≠ 0 so häufig aufgezählt, wie die Dimension des (endlichdimensionalen) verallgemeinerten Eigenraums \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}\text{Ker}{(\mu -T)}^{k}\end{eqnarray}

angibt (Eigenwert eines Operators). Außerdem seien die Eigenwerte betragsmäßig der Größe nach angeordnet: \begin{eqnarray}|{\lambda}_{1}|\ge |{\lambda}_{2}|\ge \ldots.\end{eqnarray}

Dann gelten für alle n ∈ ℕ und p > 0 die Ungleichungen \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{k=1}^{n}|{\lambda}_{k}|\le \displaystyle \prod _{k=1}^{n}{s}_{k}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|{\lambda}_{k}{|}^{p}\le \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{s}_{k}^{p}.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet (sk) die Folge der Singulärwerte von T (kompakter Operator). Gehört T zur Schattenvon Neumann-Klasse cp, so gilt insbesondere \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}|{\lambda}_{k}{|}^{p}\le {\Vert T\Vert}_{{c}_{p}}^{p}.\end{eqnarray}

[1] Simon, B.: Trace Ideals and Their Applications. Cambridge University Press, 1979.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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