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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß kann der Radius der Kugeln höchstens sein?

In ein regelmäßiges Tetraeder der Kantenlänge 2 werden vier gleich große Kugeln gepackt. Wie groß kann der Radius der Kugeln höchstens sein?
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Ein Tetraeder ist eine Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche. Ist das Tetraeder regelmäßig, so sind die Grundfläche und die drei Seitenflächen deckungsgleiche gleichseitige Dreiecke.

In ein regelmäßiges Tetraeder der Kantenlänge 2 werden vier gleich große Kugeln gepackt. Wie groß kann der Radius der Kugeln höchstens sein?

Die vier Kugel vom Radius r werden so in das Tetraeder gepackt, dass ihre Mittelpunkte die Ecken eines kleineren Tetraeders bilden.

Vier Kugeln im Tetraeder
Vier Kugeln im Tetraeder

Im ersten Bild sieht man die Grundfläche ABC des Tetraeders, auf der die drei unteren Kugeln in den Punkten D, E und F liegen. In dem rechtwinklige Dreieck CHB ist BC = 2 und HB = 1. Folglich erhält nach dem Satz des Pythagoras die Höhe des Dreiecks ABC zu CH = √(22 − 12) = √3.

Die beiden Dreiecke CHB und AGD sind ähnlich und haben darum das gleiche Kathetenverhältnis AG / DG = CH / HB = √3 / 1 oder AG = DG · √3 = JH· √3. Der Abstand der Kugelmittelpunkte beträgt 2r. Somit gilt AH = AG + GH = JH · √3 + r = 1.

Vier Kugeln im Tetraeder
Vier Kugeln im Tetraeder

Im zweiten Bild schaut man von links auf das Tetraeder. Der Kreis stellt die beiden hintereinanderliegenden vorderen unteren Kugeln dar. KC = 2 ist die hintere Kante des Tetraeders, KH = √3 die Höhe der Vorderfläche und CH = √3 die Höhe der Grundfläche. Die Höhe LH des gleichschenkligen Dreiecks CHK lässt sich mit dem Satz des Pythagoras zu LH = √((√3)2 − 12) = √2 bestimmen.

Die beiden Dreiecke KLH und MJH sind ähnlich und haben darum das gleiche Kathetenverhältnis JH / MJ = LH / KL oder JH / r = √2 / 1, woraus JH = r√2 folgt. Setzt man dies in die AH-Gleichung ein, erhält man r√2 · √3 + r = 1 oder r = 1/(1 + √6) ≈ 0,2899.

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