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Lexikon der Mathematik: Binomialreihe

Potenzreihe der Form

\begin{eqnarray}{b}_{\alpha }(z):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha \\ k){z}^{k},\end{eqnarray}

wobei α ∈ ℂ und \((\alpha \\ k)\) die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind, d. h.

\begin{eqnarray}(\alpha \\ 0) & := & 1\\ (\alpha \\ k) & := & \frac{\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)}{k!}\text{\hspace{1em}}(k\in {\mathbb{N}}).\end{eqnarray}

Für \(\alpha \notin {{\mathbb{N}}}_{\text{0}}\) hat die Potenzreihe stets den Konvergenzradius R = 1, und es gilt

\begin{eqnarray}{b}_{\alpha }(z)={(1+z)}^{\alpha }:={e}^{\alpha \text{Log}(1+z)}\,(|z|\lt 1),\end{eqnarray}

wobei Log den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet. Ist α = n ∈ ℕ0, so ist \((\alpha \\ k)=0\) für α > k, und es ergibt sich der binomische Lehrsatz in der Form

\begin{eqnarray}{(1+z)}^{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(n\\ k){z}^{k}\text{\hspace{1em}}(z\in {\mathbb{C}}).\end{eqnarray}

Im Spezialfall α = −1 erhält man die alternierende geometrische Reihe

\begin{eqnarray}{b}_{-1}(z)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}{z}^{k}=\frac{1}{1+z}\text{\hspace{1em}}(|z|\lt 1).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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