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Lexikon der Mathematik: Carlson-Pólya, Satz von

lautet:

Es sei \(f(z)=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_{k}{z}^{k}\)eine Potenzreihe mit Koeffizienten ak ∈ ℤ und Konvergenzradius R = 1.

Dann ist entweder \({\mathbb{E}}\)das Holomorphiegebiet von f oder f ist zu einer rationalen Funktion der Form

\begin{eqnarray}f(z)=p(z)/{(1-{z}^{m})}^{n}\end{eqnarray}

fortsetzbar, wobei p ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist, und m, n ∈ ℕ.

Die Voraussetzung R = 1 kann nicht weggelassen werden, denn ist R > 1, so ist f ein Polynom, und im Fall R < 1 zeigen die Reihen \begin{eqnarray}\frac{1}{\sqrt{1-4{z}^{m}}}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}){z}^{mk}(m\in {\rm{{\mathbb{N}}}}),\end{eqnarray} daß f nichtrationale Fortsetzungen haben kann.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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