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Lexikon der Mathematik: Casorati-Weierstraß, Satz von

fundamentaler Satz innerhalb der Funktionentheorie einer Variablen über die Charakterisierung von wesentlichen Singularitäten einer komplexen Funktion. Der Satz lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, a ∈ G und f eine in G \ {a} holomorphe Funktion.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Der Punkt a ist eine wesentliche Singularität von f.
  2. Zu jedem w0 ∈ ℂ, jedem ϵ > 0 und jedem δ > 0 gibt es ein z0G mit 0 < |z0a| < δ und |f(z0) − w0| < ϵ.
  3. Es existiert eine Folge (zn) in G \ {a} mit \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{z}_{n}=a\)derart, daß die Bildfolge (f(zn)) keinen Grenzwert in \(\hat{{\mathbb{C}}}\)besitzt.

Eine Folgerung aus diesem Satz ist beispielsweise die folgende Aussage:

Es sei f eine ganz transzendente Funktion. Dann gibt es zu jedem w0 ∈ ℂ eine Folge (zn) inmit |zn → ∞ (n → ∞) und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }f({z}_{n})={w}_{0}.\)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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