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Lexikon der Mathematik: Cauchyscher Entwicklungssatz

fundamentale Aussage innerhalb der Funktionentheorie über die Entwickelbarkeit einer holomorphen Funktion in eine Reihe. Der Satz lautet:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, f eine in D holomorphe Funktion und Br(z0) die größte in D enthaltene offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z0D und Radius r > 0.

Dann ist f um z0in eine Reihe der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

entwickelbar, die in Br(z0) normal gegen f konvergiert. Die Koeffizienten an sind gegeben durch

\begin{eqnarray}{a}_{n}=\frac{{f}^{(n)}({z}_{0})}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {B}_{\varrho }({z}_{0})}\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -{z}_{0})}^{n+1}}d\zeta, \end{eqnarray}

wobei 0 < ϱ < r.

Insbesondere ist f unendlich oft komplex differenzierbar in D, und in jeder offenen Kreisscheibe B ⊂ D gilt die Cauchysche Integralformel in der Form

\begin{eqnarray}{f}^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial B}\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -z)}^{n+1}}d\zeta, \quad z\in B.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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