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Lexikon der Mathematik: empirisches Moment

Näherung an das Moment einer konkreten Stichprobe.

Sei X eine Zufallsgröße und sei (x1, x2, …, xn) eine konkrete Stichprobe von X vom Umfangn. Um aufgrund der Stichprobe Aussagen über die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X zu gewinnen, betrachtet man neben der empirischen Verteilungsfunktion die sogenannten empirischen Momente. Die Größe \begin{eqnarray}{m}_{k}^{c}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-c)}^{k}\end{eqnarray} heißt empirisches Moment der Ordnung k bezüglich (der reellen Zahl) c.

Das empirische Moment k-ter Ordnungbezüglich c = 0, \begin{eqnarray}{m}_{k}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{k},\end{eqnarray} wird auch als empirisches Anfangsmoment k-ter Ordnung bezeichnet. Verwendet man für c das arithmetische Mittel \begin{eqnarray}c=\overline{x}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i},\end{eqnarray} so bezeichnet man das Moment auch als empirisches zentrales Moment der Ordnung k, \begin{eqnarray}{m}_{z}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline{x})}^{k}.\end{eqnarray}

Ein spezieller Vertreter des empirischen Anfangsmomentes ist für k = 1 der empirische Mittelwert, und ein spezieller Vertreter des empirischen zentralen Momentes ist für k = 2 die empirische Streuung.

Geht man anstelle der konkreten Stichprobe von der mathematischen Stichprobe X1, …, Xn aus, so erhält man die sogenannten Stichprobenmomente:

Das Stichprobenmoment der Ordnung k bezüglich c \begin{eqnarray}{M}_{k}^{c}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-c)}^{k},\end{eqnarray} das Stichproben-Anfangsmoment k-ter Ordnung \begin{eqnarray}{M}_{k}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}^{k},\end{eqnarray} und das zentrale Stichprobenmoment k-ter Ordnung \begin{eqnarray}{M}_{z}:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{k}.\end{eqnarray}

Im Sinne der Schätztheorie sind die Stichprobenmomente Punktschätzungen für die theoretischen Momente einer Zufallsgröße.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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