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Lexikon der Mathematik: Fock-Raum

Besetzungszahlraum, Zustandsraum in der Quantenmechanik und insbesondere Quantenfeldtheorie, dessen Basisvektoren (in Diracscher Notation) durch |…, na,…, nb,… > gegeben sind, die die Zustände von…, na,…, nb,… wechselwirkungsfreien Teilchen mit den Charakteristika…, a,…, b,… beschreiben.

Die Charakteristika sind Eigenwerte eines vollständigen Satzes von kommutierenden Observablen.

Der Fock-Raum ist Teil der Fock-Darstellung. Dazu gehören auch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Sie lassen sich am einfachsten über die Quantisierung des eindimensionalen Oszillators bespielhaft erläutern: Sein Hamilton-Operator Ĥ ist

\begin{eqnarray}\frac{1}{2}(\hat{p}^{2}+\omega^{2}\hat{q}^{2})\end{eqnarray}

(wobei die Masse auf 1 normiert ist). Mit dem Ortsoperator \(\hat{q}\) und dem Impulsoperator \(\hat{q}\) werden die Operatoren a und a+ durch

\begin{eqnarray}a=\sqrt{\frac{\omega}{2}}\Biggl(\hat{q}-\frac{i\hat{p}}{\omega}\Biggr)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}a^{+}=\sqrt{\frac{\omega}{2}}\Biggl(\hat{q}-\frac{i\hat{p}}{\omega}\Biggr)\end{eqnarray}

definiert. Für die Energie-Eigenfunktionen mit \(\hat{H}\psi_{n}=E_{n}\psi_{n}\) und \(E_{n}=\omega(n+\frac{1}{2})\) gilt dann

\begin{eqnarray}a^{+}\psi_{n}=\sqrt{n+1}\psi_{n+1}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}a\psi_{n}=\sqrt{n}\psi_{n+1}.\end{eqnarray}

a+ führt also zum nächst höheren und a zumnächst niedrigeren Energieniveau. Für den Grund-zustand gilt 0 = 0. Da die Energieniveaus in die-sem Fall gleichen Abstand haben, kann man das n-te Energieniveau auch durch einen Zustand mit n Quanten der Energie ω beschreiben, die durch n-malige Anwendung von a+ auf ψ0 erzeugt werden. Entsprechend vernichtet a ein solches Quant.

Mit a+ und a wird nun der sog. Besetzungszahl-operator \(\hat{n}:=a^{+}a\) definiert. Er hat die Eigenschaft \(\hat{n}\psi_{n}=n\psi_{n}\) . ψn ist also ein Zustand, der mit n Quanten besetzt ist. a und a+ genügen den Vertauschungsrelationen (Kommutator) [a, a+] = iund [a, a] = [a+, a+] = 0.

Für ein System mit N > 1 Freiheitsgraden werden N harmonische Oszillatoren und entsprechend N Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren \(a_{k}^{+}\) und ak mit dem entsprechenden Satz von Vertau-schungsrelationen eingeführt.

Dieses Verfahren läßt sich auf wechselwirkungs-freie Felder ausdehnen, da solche Felder als Überla-gerungen von Oszillatoren dargestellt werden können. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorengenügen Kommutatorrelationen im Fall von Bose-Feldern und Antikommutatorrelationen im Fallvon Fermi-Feldern (Bosonen, Bose-Einstein-Statistik, Fermi-Dirac-Statistik).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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