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Lexikon der Mathematik: Fresnel-Integrale

die durch folgende Integrale definierten Funktionen

\begin{eqnarray}\lim\limits_{x\rightarrow \infty}C(x)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}S(x)=\frac{1}{2}.\end{eqnarray}

Hieraus ergeben sich auch die Fresnelschen Formeln.

Die Fresnel-Integrale lassen sich sowohl durch die Gaußsche Fehlerfunktion ausdrücken

\begin{eqnarray}C(z)+iS(z)=\frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\Biggl(\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-i)z\Biggr),\end{eqnarray}

als auch durch die konfluenten hypergeometrischen Funktionen: \begin{eqnarray}C(z)+iS(z) & = & zM(\frac{1}{2},\frac{3}{2},i\frac{\pi }{2}{z}^{2})\\ & = & z{e}^{i\pi {z}^{2}/2}M(1,\frac{3}{2},-i\frac{\pi }{2}{z}^{2}).\end{eqnarray} Die Fresnel-Integrale spielen in der geometrischen Optik, speziell der Theorie der Lichtbeugung eine wichtige Rolle. Sie treten ebenfalls in den Parametergleichungen von Klothoiden auf.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Fichtenholz, G.M.: Differential- und Integralrechung II. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1964.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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