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Lexikon der Mathematik: Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Normalverteilung

eine spezielle Bereichsschätzung.

Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit unbekanntem Erwartungswert EX := μ und unbekannter Varianz Var(X) := σ2. Sei X1, …, Xn eine Stichprobe von X, auf deren Basis das Stichprobenmittel (empirischer Mittelwert) \begin{eqnarray}\bar{X}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\end{eqnarray}

und die Stichprobenvarianz (empirische Streuung) \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\bar{X})}^{2}\end{eqnarray}

berechnet werden. Sei weiterhin \begin{eqnarray}{t}_{n-1}\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)\end{eqnarray}

das \((1-\frac{\alpha }{2})\) −Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden. Da die Größe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}\end{array}\end{eqnarray}

eine t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden besitzt, folgt sofort: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}P(\mu \in I) & = & P(\bar{X}-{t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2})\frac{S}{\sqrt{n}}\lt \mu \lt \bar{X}+{t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2})\frac{S}{\sqrt{n}})\\ & = & P(-{t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2})\lt \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}\lt {t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2})\\ & = & F({t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2}))-F(-{t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2}))\\ & = & 1-\frac{\alpha }{2}-\frac{\alpha }{2}\\ & = & 1-\alpha.\end{array}\end{eqnarray}

Folglich ist das Intervall \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\begin{array}{lll}I & = & [\bar{X}-{t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2})\frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X}+{t}_{n-1}(1-\frac{\alpha }{2})\frac{S}{\sqrt{n}}]\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

eine Konfidenzschätzung bzw. ein Konfidenzintervall für μ zur Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α. Ist die Varianz σ2 von X bekannt, so wird im Intervall (2) das t-Quantil \({t}_{n-1}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})\) durch das \((1-{\scriptstyle \frac{(\alpha )}{2}})\) -Quantil \(u(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})\) der Standardnormalverteilung ersetzt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}I=[\bar{X}-u\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+u\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].\end{array}\end{eqnarray}

Für dieses Intervall ergibt sich die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α analog zur obigen Ableitung unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die Größe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{\sigma }\end{array}\end{eqnarray}

eine Standardnormalverteilung besitzt.

Besitzt X keine Normalverteilung, so besitzen die in (1) und (4) definierten Größen die t-bzw. Standardnormalverteilung nur asymptotisch für n → ∞. Die angegebenen Intervalle in (2) und (3) erreichen die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α dann auch nur asymptotisch für n → ∞ und können nur bei hinreichend großem Stichprobenumfang n verwendet werden.

Ein Beispiel. Es wurden 12 Versuchsflächen mit einer neuen Weizensorte bestellt. Diese Versuchsflächen brachten folgende Hektarerträge:

35,6; 33,7; 37,8; 31,2; 37,2; 34,1; 35,8; 36,6; 37,1; 34,9; 35,6; 34,0.

Erfahrungen zeigen, daß die Zufallsgröße X =, zufälliger Hektarertrag’ gewöhnlich als normalverteilt angesehen werden kann. Für den Erwartungswert μ des Hektarertrages soll mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 ein Konfidenzintervall ermittelt werden. Da die Varianz σ2 unbekannt ist, wird sie aus der Stichprobe durch s2 geschätzt. Man erhält \begin{eqnarray}\bar{x}=35,3\ \text{und}\ s=1,86.\end{eqnarray}

Für das Quantil \({t}_{n-1}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})={t}_{11}(0.975)\) der t-Verteilung liest man aus einer entsprechenden Tabelle den Wert ab: \begin{eqnarray}{t}_{11}(0.975)=2,20.\end{eqnarray}

Damit lautet das konkrete Konfidenzintervall für μ: \begin{eqnarray}[35,3-2,20\frac{1,86}{\sqrt{12}};\ \text{}35,3-2,20\frac{1,86}{\sqrt{12}}]=[34,12;36,48.].\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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