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Lexikon der Mathematik: Kreiskegel

Menge der Punkte aller Geraden, die einen Punkt S des Raumes mit den Punkten eines Kreises k verbinden.

Diese Geraden werden Mantellinien des Kreiskegels K genannt. Der Punkt S heißt Spitze, der Kreis k Grundkreis von K.

Die Gerade durch die Spitze S und den Mittelpunkt M des Grundkreises wird als Achse des Kreiskegels K bezeichnet. Steht die Achse eines Kreiskegels K senkrecht auf der Grundkreisebene ϵ, so ist K ein gerader Kreiskegel. Ist α der Winkel zwischen der Kegelachse und den Mantellinien, so heißt 2α Öffnungswinkel von K.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kreiskegel
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Kreiskegel

Ein Kreiskegel in dem so beschriebenen Sinne ist unendlich ausgedehnt und besteht aus zwei Kegelästen (den beiden Hälften, in die der Kegel durch seine Spitze geteilt wird); es handelt sich also um einen Doppelkegel. Allerdings lassen sich auch einfache Kreiskegel betrachten, wobei dann die Mantellinien lediglich Strahlen mit der Spitze als Anfangspunkt sind.

Endliche Kreiskegel werden durch die Grundkreisebene und die Verbindungsstrecken zwischen der Spitze und den Punkten des Grundkreises begrenzt.

Ein unendlicher Kreiskegel wird durch seine Spitze, seine Achse und seinen Öffnungswinkel vollständig beschrieben. Der Grundkreis wurde lediglich für die hier verwendete Definition benötigt. Seine Wahl ist willkürlich, ein Kreiskegel kann durch verschiedene Grundkreise (mit unterschiedlichem Radius) definiert werden.

Wählt man (z. B. durch eine Hauptachsentransformation) ein geeignetes Koordinatensystem, so läßt sich ein (unendlicher) Kreiskegel durch eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{{r}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{r}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=0\end{eqnarray}

beschreiben. Es handelt sich demnach um eine entartete nicht zerfallende Fläche zweiter Ordnung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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