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Lexikon der Mathematik: Kugel

Menge aller Punkte des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M (dem Mittelpunkt) einen Abstand haben, der kleiner oder gleich einem festen Wert r (dem Radius) ist.

Die Oberfläche einer Kugel (d. h. die Menge aller Punkte, die von M den Abstand r haben) wird als Sphäre bezeichnet, mitunter wird jedoch auch der Begriff „Kugel“ selbst in diesem Sinne gebraucht und die Menge der Punkte im Kugelinneren als Kugelkörper bezeichnet. Siehe hierzu auch Kugelfläche.

Der Durchschnitt einer Kugel mit einer beliebigen Ebene, welche mit der Kugel mehr als einen Punkt gemeinsam hat, ist stets ein Kreis. Verläuft die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel, so hat dieser Kreis denselben Radius wie die Kugel selbst und wird als Großkreis (ansonsten als Kleinkreis) bezeichnet. Jede Kugel kann auch als Rotations-fläche eines Kreises um einen seiner Durchmesser aufgefaßt werden. Für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r gilt \begin{eqnarray}V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {r}^{3},\end{eqnarray}

für ihren Oberflächeninhalt \begin{eqnarray}A=4\cdot \pi \cdot {r}^{2}.\end{eqnarray}

In einem kartesischen Koordinatensystem kann eine Kugel durch die Gleichung \begin{eqnarray}{(x-{x}_{M})}^{2}+{(y-{y}_{M})}^{2}+{(z-{z}_{M})}^{2}={r}^{2}\end{eqnarray}

beschrieben werden, wobei (xM; yM; zM) die Koordinaten ihres Mittelpunktes sind.

Auf der Kugeloberfläche kann eine eigene Geometrie aufgebaut werden, in der die Großkreise (deren Bögen die kürzesten Verbindungen von Punkten auf der Kugeloberfläche sind) die Rolle der Geraden übernehmen (sphärische Geometrie).

Die Kugel gilt als der harmonischste aller Körper, was vor allem darauf zurückzuführen ist, daß ihre Krümmung in jedem Punkt denselben Wert besitzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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