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Lexikon der Mathematik: lemniskatische Cosinusfunktion

eine elliptische Funktion, die bei der Bildung der Umkehrfunktion des elliptischen Integrals

\begin{eqnarray}u(z)=\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{d\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^{4}}}\end{eqnarray}

entsteht. Sie wird mit cl bezeichnet, und es gilt z = cl u. Weiter ist die lemniskatische Sinusfunktion sl definiert durch sl \(u:\text{cl}(\frac{1}{2}\omega -u)\), wobei

\begin{eqnarray}\omega =2\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{4}}}.\end{eqnarray}

Das Integral (1) tritt bei der Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate auf.

Die Funktionen cl und sl können durch cosinus amplitudinis cn und sinus amplitudinis sn (Amplitudinisfunktion) mit \(k=\frac{1}{2}\sqrt{2}\) ausgedrückt werden:

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\text{cl}u=\text{cn}(u\sqrt{2}), & \text{sl}u=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\text{sn}(u\sqrt{2})}{\text{dn}(u\sqrt{2})}.\end{array}\end{eqnarray}

In diesem Fall gilt weiter

\begin{eqnarray}K={K}^{^{\prime} }=\frac{\omega }{\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{\pi }}{\left[\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)\right]}^{2},\end{eqnarray}

wobei Γ die Eulersche Γ-Funktion bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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