Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Lorentz-Gruppe

homogene Untergruppe der Isometriegruppe des Minkowski-Raums.

Ihre Elemente werden Lorentz-Transforma- tionen genannt. Zu den Elementen, die stetig mit der Einheit zusammenhängen, kommen die Spiegelungen der Raum- und Zeitkoordinaten des Minkowski-Raums hinzu. Man spricht hier auch von der vollständigen Lorentz-Gruppe. Die Isometriegruppe des Minkowski-Raums enthält neben der vollständigen Lorentz-Gruppe noch die 4-parametrige Translationsgruppe. Diese Gruppe wird Poincare-Gruppe oder inhomogene Lorentz-Gruppe genannt. Hier wird unter Lorentz-Gruppe stets die vollständige Lorentz-Gruppe verstanden.

Sind xμ (kleine griechische Lettern durchlaufen immer die Menge 1, 2, 3, 4) die Standardkoordinaten des Minkowski-Raums und ημv die Komponenten des Minkowski-Tensors, dann ist eine Lorentz-Transformation \({x}^{{\mu }^{\prime}}={{\rm{\Lambda }}}_{v}^{{\mu }^{\prime}}{x}^{v}\) (Einsteinsche Summenkonvention: Summation über gleiche ko- und kontravariante Indizes) durch \begin{eqnarray}{\eta }_{{\varrho }^{\prime}{\sigma }^{\prime}}{{\rm{\Lambda }}}_{\mu }^{{\varrho }^{\prime}}{{\rm{\Lambda }}}_{v}^{{\sigma }^{\prime}}={\eta }_{\mu v}\end{eqnarray} definiert.

Es gilt (det ∧)2 = 1. Die Lorentz-Transformationen mit det ∧ = 1 heißen eigentliche, und solche mit \({{\rm{\Lambda }}}_{0}^{{0}^{\prime}}\ge 1\) orthochrone Lorentz-Transformationen.

Die eigentliche Lorentz-Gruppe ist das direkte Produkt zweier dreidimensionaler Drehgruppen. Damit ist jede irreduzible lineare Darstellung der Lorentz-Gruppe D(j1, j2) durch zwei Zahlen j1 und j2 bestimmt, wobei j1, j2 unabhängig voneinander nichtnegative ganze und halbganze Werte annehmen können. Die Dimension des Darstellungsraums ist (2j1 + 1)(2j2 + 1). Ist j1 + j2 ganz, spricht man von einer Tensordarstellung. Für halbganzes j1 + j2 spricht man von Spinor- oder zweideutiger Darstellung. Bei der Spinordarstellung handelt es sich in Wirklichkeit um eine Darstellung der universellen Überlagerungsgruppe SL(2) der Lorentz-Gruppe. (Allgemein bedeutet dieser Begriff: Für die einfach zusammenhängende Gruppe \(\hat{G}\) und die Gruppe G existiert ein Epimorphismus von \(\hat{G}\) auf G, der lokal auch Isomorphismus ist.) Der Begriff „zweideutig“ rührt in diesem Zusammenhang daher, daß eine „halbe Drehung“ in SL(2) schon eine volle Drehung (identische Transformation) in der Lorentz-Gruppe bewirkt und ein Element aus dem Darstellungsraum dabei sein Vorzeichen umkehrt. Eine „volle Drehung“ in SL(2) bewirkt eine zweifache Drehung in der Lorentz-Gruppe, und erst damit geht ein Element des Darstellungsraums in sich über.

Die einfachsten Spinordarstellungen sind D(1/2, 0) und D(0, 1/2). Die Dimension der Darstellungsräume ist 2. Räumliche Spiegelungen lassen ihre Darstellungsräume nicht mehr invariant. Erst ihre direkte Summe ist bei dieser Operation invariant. Dies bedeutet den Übergang von den zweikomponentigen (Weylschen) Spino- ren zu den vierkomponentigen Dirac-Spinoren.

Tensordarstellungen können aus Spinordarstellungen aufgebaut werden, z. B. gilt \begin{eqnarray}D(1/2,0)\otimes D(0,1/2)=D(1/2,1/2),\end{eqnarray} d. h., aus zwei zweikomponentigen Spinoren entsteht durch Produktbildung ein vierkomponentiger Vektor.

Darstellungsräume von direkten Produkten der Lorentz-Gruppe sind nicht irreduzibel.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte