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Lexikon der Mathematik: normaler Ring

ein reduzierter Ring, der in seinem Quotientenkörper ganz abgeschlossen ist, anders gesagt, ein kommutativer nullteilerfreier Ring R mit Eins mit der Eigenschaft, daß jedes R-ganze Element (Normalisierung eines Rings) aus seinem Quotientenkörper zu R gehört.

Diese Eigenschaft bleibt bei der Lokalisierung RRS erhalten. Der Ring R ist genau dann normal, wenn er nullteilerfrei ist und für jedes Maximalideal 𝔪 der lokale Ring A𝔪 normal ist.

Ist R ein reduzierter (kommutativer) Ring und Q(R) sein Quotientenring, und ist beispielsweise \begin{eqnarray}P(x)={x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +{a}_{0}\end{eqnarray}

ein Polynom mit a0, …, an−1R, und bQ(R) mit P(b) = 0, dann ist bR, wenn R normaler Ring ist.

Polynomringe über Körpern oder dem Ring der ganzen Zahlen sind normal. Der Ring ℂ[t2, t3] ist nicht normal.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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